Как я заменял идеи вычислениями

[posic]

К обсуждению во френдленте -- была, значит, у меня одна работа. Ее, если кто понимает, о чем я, потом в журнале K-theory издали.

Ну вот, она делалась так -- приходил я домой с работы часов в 7 утра, или в 8. Очень сонный; и прежде, чем лечь спать, думал про спектральную последовательность. Вернее, про гомоморфизм спектральных последовательностей. В уме, без бумажки. Несколько дней подряд; потом обрадованно решил, что все получается.

Прошло почти четыре два года, и собрался я это дело записывать. Начал вспоминать. И получалось у меня так: спектральная последовательность... гомоморфизм спектральных последовательностей... точная последовательность спектральных последовательностей...

Что такое точная последовательность спектральных последовательностей?

Тогда я решил: ну, нафиг. Так до пришествия Мессии не разобраться, что верно и что нет. Для любых элементов икс отсюда и игрек оттуда найдется элемент зет...

Теперь я не сомневаюсь, что там все верно. Проверить это по моему тексту нетрудно; вычисления совсем простые. Ряд людей уже, похоже, проверили; никто до сих пор не усомнился.

Но почему это верно? Откуда это берется? Честно говоря, я без понятия.

Может быть, лучше было продолжать размышления про точную последовательность спектральных последовательностей? А потом и писать про нее?

... Это все было к тому, что при более обычных условиях я, конечно, завсегда предпочту заменить все вычисления идеями.

Comments

[flying-bear.livejournal.com]

Вот. Вы, наверно, сможете объяснить, о чем речь. Вы хорошо объясняете.

Цель науки - понимание, так? Понимание - это, видимо, то, что Вы называете идеями. Нет?

А вычисления имеют результатом ответ на какой-то вопрос. Сколько ангелов может поместиться на кончике иглы? Сорок два.

А дальше начинаем думать - почему именно сорок два, что препятсвует сорок третьему ангелу примкнуть к теплой компании, что будет, если игла не в трехмерном пространстве, а в n-мерном... Это все, кажется, ясно.

Конечно, результат без понимания недостаточен.

Я не возьму в толк - как может быть понимание результата без результата? Котов без улыбки видал, а вот улыбка без кота - это как?

[shuffle81.livejournal.com]

Ну так вроде Лёня в одном из тех тредов написал. Результат в физике - это некоторое вычисление, которое можно сравнить с данными, предоставленными реальностью. В математике таких данных зачастую нет, и быть не может. Поэтому понимание может оказаться пониманием того, что данное определение "имеет смысл", "правильное". То есть такое понимание об устройстве вещей, без конкретного результата, который надо бы понять.

(Это я не претендую на изложение точки зрения Лёни, само собой, - Лёня сам за себя прекрасно ответит.)

[flying-bear.livejournal.com]

Классическое определение результата в физике такое, да. Но сейчас расплодилась такая порода псевдофизиков... Реальная физическая Вселенная им по барабану, теоремы они тоже не доказывают... Постмодернизм на марше, высказывание без объекта высказывания. Следы птичьих лап на песке в качестве текста.

Как Ларкин взорвался на одном семинаре: "Сценарии, сценарии... У нас в теорфизике никогда не было никаких "сценариев". У нас были только вычисления и результаты".

Мне вот и интересно - в математике тоже такое сейчас? Объект математического исследования исчез, а математика, как ни в чем ни бывало, остается? Или я (надеюсь) неправильно понял те высказывания, на которые намекает Леня?

[shuffle81.livejournal.com]

А что такое объект исследования в математике? Математика ведь зачастую изучает вещи, которые за пределами мира идей не существуют..

[posic.livejournal.com]

Объект математического исследования всегда был и остается одним и тем же -- это чистые идеи определенного рода. Существует он или не существует -- это, наверное, что-то из разряда спора реалистов и номиналистов, или там, платонистов и формалистов, или еще каких философов. Кто бы из нас какую философию ни предпочитал, ситуация с объектом математического исследования мало изменилась со времен древних греков. Говорящий, что объекта исследования нет, подразумевает, я думаю, что его никогда не было.

Речь должна идти, наверное, скорее об эпистемологии. Стандартом корректности математических утверждений и построений остается математическое доказательство. Может быть, где-то вблизи границы с полевыми-струнными (полу)физиками этот стандарт и более размыт, чем в других областях, но мне не кажется, что здесь можно говорить об угрозе математике в целом. Если они там наделают ошибок и запутаются -- увы, если разберутся и распутаются -- ура, но в любом случае, это останется проблемой их области.

Как говорится в предисловии (не путать с введением, которое отдельно) к моей книжке про полубесконечные когомологии --

The author of this monograph stands at the receiving end of a long chain of interpretative work through which the ideas originating in the interaction of Mathematics with Quantum Field Theory or String Theory are transferred to the heart of Algebra. We are not in the position to comment here on the possibilities of applications of the content of this book to Mathematical Physics ...

К заголовку предисловия стоит сноска: "What follows is very speculative and should be taken with a grain of salt." За пределами предисловия слово "физика" не упоминается, а об использовании физической терминологии (типа central charge) можно говорить разве в этимологическом смысле. По-моему, у меня все верно и корректно доказано, но если найдется какая ошибка или дыра, то виноват буду в этом я, а не струнщики или "отсутствие (исчезновение) объекта математического исследования".

[vanja-y.livejournal.com]

Ниже приведена цитата из статьи Тёрстона "On proof and progress in mathematics" (доступна в архиве).
Возможно она в какой-то мере ответит на Ваши вопросы объекте исследования математики и чем она занимается

It may sound almost circular to say that what mathematicians are accomplishing
is to advance human understanding of mathematics. I will not try to resolve this by
discussing what mathematics is, because it would take us far afield. Mathematicians
generally feel that they know what mathematics is, but find it difficult to give a good
direct definition. It is interesting to try. For me, “the theory of formal patterns”
has come the closest, but to discuss this would be a whole essay in itself.

Could the difficulty in giving a good direct definition of mathematics be an
essential one, indicating that mathematics has an essential recursive quality? Along
these lines we might say that mathematics is the smallest subject satisfying the
following:

• Mathematics includes the natural numbers and plane and solid geometry.

• Mathematics is that which mathematicians study.

• Mathematicians are those humans who advance human understanding of
mathematics.

In other words, as mathematics advances, we incorporate it into our thinking. As
our thinking becomes more sophisticated, we generate new mathematical concepts
and new mathematical structures: the subject matter of mathematics changes to
reflect how we think.

[meshulash.livejournal.com]

Вроде все хорошо сформулировано, но есть ощущение какой-то неправильности. Я попробую что-то сказать, но все это зыбко, конечно.

Вот сейчас у меня есть некие неравенства. Я знаю, как они должны выглядеть для таких-то функций. И я проверил, т.е. вычислил, эти неравенства для нескольких примеров. Я знаю и ясно понимаю, почему эти неравенства такие для всех функций определенного вида. Но доказательства общей теоремы у меня нет (я более-менее представляю, как это доказывается, но все это очень технически, по-видимому, страниц на десять, и пока не сделано). А значит у уменя нет результата. Но его понимание, как мне кажется, есть. Вот что-то такое. Наверное, здесь какая-то фундаментальная разница в толковании между термина "результат" в физике и в математике. И, вероятно, такая же разница в толковании термина "вычисление".

[flying-bear.livejournal.com]

Ну, почему. Какая фундаментальная разница. Нормальное состояние, как у умной собаки, которая все понимает, только сказать не может. Физикам очень хорошо знакомое.

Просто недоделанная работа. Нужно доделать. Иногда (у меня) растягивается не то что на годы - на десятилетия. Но это факт моей биографии, никому не интересно. Не сделано, значит, не сделано. А чуть-чуть не считается.

[meshulash.livejournal.com]

Разница в моем состоянии и состоянии умной собаки (а также, как Вы заметили, состоянии, которое знакомо физикам) в том, что я как раз могу сказать и объяснить, что я понимаю. На пальцах я это объяснял и обсуждал много раз. Но формального результата - да, пока нет. И все это, вне всякого сомнения, нужно доделать. В физике же, вероятно, как-то иначе.

[Антон Фонарёв (from livejournal.com)]

Бывает, казалось бы, более сложная ситуация: имеется факт, к которому прилагается «план доказательства». И все возможные иррационально-мистические силы гласят, что план, что называется, должен работать. Только вот так получилось, что для данного конкретного факта ничего не получится, потому что, скажем, один шаг из плана для него выполнить очень тяжело.

Вот тут может случиться, что план сам по себе ценен, потому что он сработает для какого-либо другого факта. Такое, конечно, очень редко случается.

[posic.livejournal.com]

Давайте я попробую описать некий пример. Имеется конструкция, в которой по набору неких натуральных чисел-параметров строится пара компонуемых матриц A и B (размером n x m и m x k, где n, m, k зависят от тех натуральных чисел и быстро возрастают с их ростом). Нетрудно убедиться, что произведение AB -- нулевая матрица. Из этого легко следует, что сумма рангов A и B не превышает m.

Утверждается, что фактически сумма рангов A и B всегда (в рамках данной конструкции) равна m. Это результат. Как можно получить такой результат? Можно явно посчитать несколько частных случаев для малых значений параметров. Применить там, я не знаю, гауссов процесс, найти ранги и сложить. С точки зрения математика, это будет как раз не результат, а просто набор посчитанных примеров (вручную или на компьютере).

Результат -- это доказательство общего случая. Как выглядит это доказательство? Скажем, рассматривается факторпространство ядра B по образу A. По определению, это конечномерное векторное пространство неизвестной размерности. Требуется доказать, что это пространство (или, что все равно, его размерность) равна нулю.

Как это делается? Скажем, на факторпространстве строится некий оператор, обозначим его C. Приводятся два рассуждения (допустим, с элементами вычислений, но очень простых, чуть ли не в уме) о том, чему равен этот оператор C. В силу одного рассуждения, это скалярная матрица, соответствующая строго положительному вещественному (или натуральному) числу. В силу другого рассуждения, это нулевая матрица.

Когда скалярная матрица, соответствующая ненулевому числу, может быть равна нулевой матрице? Только когда это две матрицы 0 x 0. Теорема о сумме рангов операторов A и B таким образом доказана. Это результат, полученный с помощью рассуждений, основанных на идеях (нужно придумать конструкцию оператора С).

Допустим, знакомый с этими (классическими) идеями математик сталкивается с новой похожей ситуацией, новой конструкцией пары матриц с нулевой композицией, и хочет доказать максимальность суммы рангов. Он может попытаться вычислить ранги в явном виде, выбрать какие-то базисы, выписать в них матричные элементы операторов, и т.д.

А может вместо этого -- придумать в новой ситуации конструкцию оператора C, или, может быть, нескольких таких операторов, скомбинировать какие-то классические идеи, добавить свою -- и доказать утверждение на основе идей и рассуждений, подобных описанному выше, не прибегая к развернутым вычислениям. Это будет называться "заменить вычисления идеями" (изречение типа "я всегда стремился заменять слепые вычисления прозрачными идеями" приписывается, что ли, Дирихле).

На самом деле, современная гомологическая алгебра знает целый ряд приемов, с помощью которых можно иногда убедиться, что сумма рангов двух матриц с нулевой композицией максимальна (или не максимальна), не производя почти никаких вычислений (в частности, не вычисляя сами эти ранги).

[sasha-br.livejournal.com]

Пока не появилось слово "гомологическая алгебра" я вообще не понимал о чём ты:)))

[marina_p]

А я после первого предложения второго абзаца догадалась :-)

[flying-bear.livejournal.com]

Я могу привести примеры важных результатов, полученных без всяких вычислений, из теоретической физики. Скажем, модель составного ядра (Н. Бор). В статье, насколько помнится, вообще ни одной формулы, просто картинка: шарик влетает в ямку, наполненную другими шариками, покрутится-покрутится, и какой-нибудь шарик (не обязательно тот же, что влетел!) вылетит. Это был действительно прорыв. Но потом была и формальная часть (хоть и простая), скажем, формула Брейта-Вигнера, которая позволяет реально обсуждать сечения рассеяния нейтронов при образовании составного ядра. Принцип дополнительности того же Бора - другой пример. Он важен, но (с точки зрения физики, а не философии) без формальной теории измерений фон Неймана остается простым бла-бла-бла. Качественная идея Френкеля о псевдокристаллической структуре жидкости - еще пример. Поскольку до вычислений там так до сих пор и не дошло, радости от такого "понимания" немного.

Возможно, дело в понимании слова "понимание". Для меня это очень сильное слово. Если есть технические трудности в доказательстве, значит, понимания нет, а есть лишь иллюзия понимания. Так мне кажется.

Ну и, в порядке алаверды, с цитированием предисловий к собственным книгам: When you have to discuss a theory using just words, without formulas and diagrams, and cannot even make faces, after several years it does improve your understanding of theoretical physics. Но это все же приправа, а не основное блюдо. Невозможно питаться лишь солью и горчицей.

[posic.livejournal.com]

Видимо, речь должна идти о том, что чистые математики (в отличие от теоретических физиков) умеют систематически пользоваться рассуждениями вместо вычислений. Не всегда и не всем это удается, но там, где не удается -- необходимость использовать выкладки свидетельствует о недостатке понимания (по крайней мере, при определенном стиле работы, приверженность которому продекларировали здесь ряд математиков, включая меня).

При этом идеи избегать вообще формул и символов у математиков нет. Если я буду на протяжении и без того длинного рассуждения каждый раз выписывать цепочку терминов в громоздкой грамматической конструкции ("контрапроизводная категория контрагерентных копучков локально кокручения") или, хуже того, вместо букв, указывающих на основные объекты, использовать словесные описания ("на объемлющем многообразии") -- вместо того, чтобы написать формулу, выражающую то же самое в сокращенной символической нотации -- это будет не облегчать, а затруднять чтение.

Поэтому я сразу обозначу "объемлющее многообразие" через X, "открытое подмногообразие" через U, и буду так на них ссылаться -- а цепочку терминов, выписав один раз словами, при последующих упоминаниях сверну в формулу. Но выкладок при этом постараюсь избегать (не опуская их в духе "читатель восстановит", а именно заменяя вполне строгими рассуждениями, делающими их ненужными).

[xaxam.livejournal.com]

Уж добавлю слово в строку, чтоб не выкинуть. Один из моих математических кумиров, Аскольд Хованский, говаривал: если у теоремы есть только одно доказательство, значит, она недостаточно хорошо понята.

Клянусь словами учителя.

[vinopivets.livejournal.com]

У меня было два, что ли, случая, когда я решил задачу (не учебную, свою), но так и не понял, что за хрень там происходит. Т.е., объяснить, почему такая цепочка вычислений - да, а без ссылок на вычисления, на пальцах, - нет, не получается. Я считаю, что я эти задачи не решил, и понимания происходящего в них у меня нет.

[posic.livejournal.com]

Решил -- тоже отчасти растяжимое понятие. Допустим, я в данном случае доказал некую гипотезу, которую не удавалось доказать другим людям, а также обобщил ее на пару новых ситуаций и тоже доказал. А понимания нет, как нет. Ну, что же делать -- я публикую то, что есть. Может быть, когда-нибудь кто-нибудь поймет, или я пойму.

[xaxam.livejournal.com]

Не могу не поделиться цитатой из Лешфеца, услышанной недавно (на иврите, в обратном переводе на английски): Never in my life had I a correct proof or a wrong theorem.

[flying-bear.livejournal.com]

Сначала прочитал: a correct proof OF a wrong theorem. И задумался.
Но так тоже нефигово, да.

[xaxam.livejournal.com]

Это манифест ультраплатонизма: если я ЗНАЮ, что нечто суть истина, то, объясняя это другим, я не обязан облачаться в профессорскую униформу и одевать положенный к случаю парик.

Риман тоже выссказывал нечто созвучное.

Вообще геометры в этом месте, как ни странно, впереды племени всего шли.

[flying-bear.livejournal.com]

Гегель, впрочем, очень ехидно высказывался про тех, кто полагает себя "непосредственно пребывающими в Истине".

[pussbigeyes.livejournal.com]

И я так прочитал. "Эка загнул", - подумал.

[posic.livejournal.com]

А утверждение, что у Лефшеца не было ошибочных теорем, верно разве?

[xaxam.livejournal.com]

Да я чего-то не соображу... по крайней мере, вроде бы не было знаменито ошибочных теорем.