Leonid Positselski

Вот. Вы, наверно, сможете объяснить, о чем речь. Вы хорошо объясняете.

Цель науки - понимание, так? Понимание - это, видимо, то, что Вы называете идеями. Нет?

А вычисления имеют результатом ответ на какой-то вопрос. Сколько ангелов может поместиться на кончике иглы? Сорок два.

А дальше начинаем думать - почему именно сорок два, что препятсвует сорок третьему ангелу примкнуть к теплой компании, что будет, если игла не в трехмерном пространстве, а в n-мерном... Это все, кажется, ясно.

Конечно, результат без понимания недостаточен.

Я не возьму в толк - как может быть понимание результата без результата? Котов без улыбки видал, а вот улыбка без кота - это как?

From:

vinopivets.livejournal.com

У меня было два, что ли, случая, когда я решил задачу (не учебную, свою), но так и не понял, что за хрень там происходит. Т.е., объяснить, почему такая цепочка вычислений - да, а без ссылок на вычисления, на пальцах, - нет, не получается. Я считаю, что я эти задачи не решил, и понимания происходящего в них у меня нет.

From:

shuffle81.livejournal.com

Ну так вроде Лёня в одном из тех тредов написал. Результат в физике - это некоторое вычисление, которое можно сравнить с данными, предоставленными реальностью. В математике таких данных зачастую нет, и быть не может. Поэтому понимание может оказаться пониманием того, что данное определение "имеет смысл", "правильное". То есть такое понимание об устройстве вещей, без конкретного результата, который надо бы понять.

(Это я не претендую на изложение точки зрения Лёни, само собой, - Лёня сам за себя прекрасно ответит.)

From:

Классическое определение результата в физике такое, да. Но сейчас расплодилась такая порода псевдофизиков... Реальная физическая Вселенная им по барабану, теоремы они тоже не доказывают... Постмодернизм на марше, высказывание без объекта высказывания. Следы птичьих лап на песке в качестве текста.

Как Ларкин взорвался на одном семинаре: "Сценарии, сценарии... У нас в теорфизике никогда не было никаких "сценариев". У нас были только вычисления и результаты".

Мне вот и интересно - в математике тоже такое сейчас? Объект математического исследования исчез, а математика, как ни в чем ни бывало, остается? Или я (надеюсь) неправильно понял те высказывания, на которые намекает Леня?

Edited Date: 2012-11-23 12:03 am (UTC)

From:

Вроде все хорошо сформулировано, но есть ощущение какой-то неправильности. Я попробую что-то сказать, но все это зыбко, конечно.

Вот сейчас у меня есть некие неравенства. Я знаю, как они должны выглядеть для таких-то функций. И я проверил, т.е. вычислил, эти неравенства для нескольких примеров. Я знаю и ясно понимаю, почему эти неравенства такие для всех функций определенного вида. Но доказательства общей теоремы у меня нет (я более-менее представляю, как это доказывается, но все это очень технически, по-видимому, страниц на десять, и пока не сделано). А значит у уменя нет результата. Но его понимание, как мне кажется, есть. Вот что-то такое. Наверное, здесь какая-то фундаментальная разница в толковании между термина "результат" в физике и в математике. И, вероятно, такая же разница в толковании термина "вычисление".

From:

Ну, почему. Какая фундаментальная разница. Нормальное состояние, как у умной собаки, которая все понимает, только сказать не может. Физикам очень хорошо знакомое.

Просто недоделанная работа. Нужно доделать. Иногда (у меня) растягивается не то что на годы - на десятилетия. Но это факт моей биографии, никому не интересно. Не сделано, значит, не сделано. А чуть-чуть не считается.

From:

shuffle81.livejournal.com

А что такое объект исследования в математике? Математика ведь зачастую изучает вещи, которые за пределами мира идей не существуют..

From:

Разница в моем состоянии и состоянии умной собаки (а также, как Вы заметили, состоянии, которое знакомо физикам) в том, что я как раз могу сказать и объяснить, что я понимаю. На пальцах я это объяснял и обсуждал много раз. Но формального результата - да, пока нет. И все это, вне всякого сомнения, нужно доделать. В физике же, вероятно, как-то иначе.

From:

Объект математического исследования всегда был и остается одним и тем же -- это чистые идеи определенного рода. Существует он или не существует -- это, наверное, что-то из разряда спора реалистов и номиналистов, или там, платонистов и формалистов, или еще каких философов. Кто бы из нас какую философию ни предпочитал, ситуация с объектом математического исследования мало изменилась со времен древних греков. Говорящий, что объекта исследования нет, подразумевает, я думаю, что его никогда не было.

Речь должна идти, наверное, скорее об эпистемологии. Стандартом корректности математических утверждений и построений остается математическое доказательство. Может быть, где-то вблизи границы с полевыми-струнными (полу)физиками этот стандарт и более размыт, чем в других областях, но мне не кажется, что здесь можно говорить об угрозе математике в целом. Если они там наделают ошибок и запутаются -- увы, если разберутся и распутаются -- ура, но в любом случае, это останется проблемой их области.

Как говорится в предисловии (не путать с введением, которое отдельно) к моей книжке про полубесконечные когомологии --

The author of this monograph stands at the receiving end of a long chain of interpretative work through which the ideas originating in the interaction of Mathematics with Quantum Field Theory or String Theory are transferred to the heart of Algebra. We are not in the position to comment here on the possibilities of applications of the content of this book to Mathematical Physics ...

К заголовку предисловия стоит сноска: "What follows is very speculative and should be taken with a grain of salt." За пределами предисловия слово "физика" не упоминается, а об использовании физической терминологии (типа central charge) можно говорить разве в этимологическом смысле. По-моему, у меня все верно и корректно доказано, но если найдется какая ошибка или дыра, то виноват буду в этом я, а не струнщики или "отсутствие (исчезновение) объекта математического исследования".

From:

Так мир идей реальнее физической Вселенной. Это давно уже все знают. По пещеру, тени, и все такое прочее.

From:

Например, те математики, с которыми я в основном общаюсь, не только не делают никаких вычислений, но даже считают это плохим тоном.

Я пытался там уточнить, вроде, речь идет об интуитивно понятном смысле слова "вычисления". То есть, о манипуляциях с математическими символами по неким фиксированным правилам.

Вот я и хочу понять - что остается от предмета математического исследования, если не делать никаких вычислений? То есть, вообще ничего никуда не преобразовывать? Понятно, что можно еще "размышлять". Но рахмышление само по себе видимых следов не оставляет.

From:

Не так уж давно. С конца 50-х. После Вигнера.

From:

Платон еще такой был. Например. До Вигнера.

From:

На пальцах не считается. Так же как и "в принципе, понятно".

From:

Да, для результата - не считается, его нет. Тут говорить не о чем. Но ведь мы о понимании говорим.

From:

Кстати, да. Хороший был человек, олимпиец. Жаль, плохо кончил.

From:

Я не понимаю, что такое понимание того, чего нет. Утром - результат, вечером понимание. Или вечером - результат, утром понимание. Но результат вперед.

From:

Давайте я попробую описать некий пример. Имеется конструкция, в которой по набору неких натуральных чисел-параметров строится пара компонуемых матриц A и B (размером n x m и m x k, где n, m, k зависят от тех натуральных чисел и быстро возрастают с их ростом). Нетрудно убедиться, что произведение AB -- нулевая матрица. Из этого легко следует, что сумма рангов A и B не превышает m.

Утверждается, что фактически сумма рангов A и B всегда (в рамках данной конструкции) равна m. Это результат. Как можно получить такой результат? Можно явно посчитать несколько частных случаев для малых значений параметров. Применить там, я не знаю, гауссов процесс, найти ранги и сложить. С точки зрения математика, это будет как раз не результат, а просто набор посчитанных примеров (вручную или на компьютере).

Результат -- это доказательство общего случая. Как выглядит это доказательство? Скажем, рассматривается факторпространство ядра B по образу A. По определению, это конечномерное векторное пространство неизвестной размерности. Требуется доказать, что это пространство (или, что все равно, его размерность) равна нулю.

Как это делается? Скажем, на факторпространстве строится некий оператор, обозначим его C. Приводятся два рассуждения (допустим, с элементами вычислений, но очень простых, чуть ли не в уме) о том, чему равен этот оператор C. В силу одного рассуждения, это скалярная матрица, соответствующая строго положительному вещественному (или натуральному) числу. В силу другого рассуждения, это нулевая матрица.

Когда скалярная матрица, соответствующая ненулевому числу, может быть равна нулевой матрице? Только когда это две матрицы 0 x 0. Теорема о сумме рангов операторов A и B таким образом доказана. Это результат, полученный с помощью рассуждений, основанных на идеях (нужно придумать конструкцию оператора С).

Допустим, знакомый с этими (классическими) идеями математик сталкивается с новой похожей ситуацией, новой конструкцией пары матриц с нулевой композицией, и хочет доказать максимальность суммы рангов. Он может попытаться вычислить ранги в явном виде, выбрать какие-то базисы, выписать в них матричные элементы операторов, и т.д.

А может вместо этого -- придумать в новой ситуации конструкцию оператора C, или, может быть, нескольких таких операторов, скомбинировать какие-то классические идеи, добавить свою -- и доказать утверждение на основе идей и рассуждений, подобных описанному выше, не прибегая к развернутым вычислениям. Это будет называться "заменить вычисления идеями" (изречение типа "я всегда стремился заменять слепые вычисления прозрачными идеями" приписывается, что ли, Дирихле).

На самом деле, современная гомологическая алгебра знает целый ряд приемов, с помощью которых можно иногда убедиться, что сумма рангов двух матриц с нулевой композицией максимальна (или не максимальна), не производя почти никаких вычислений (в частности, не вычисляя сами эти ранги).

From:

В этом, по-видимому, и состоит какое-то фундаментальное различие в толковании термина "понимание" в математике и физике. Хотя нет, Планк, насколько я могу судить, рассуждал скорее как математик. Но э не знаю, как это объяснить. Может быть, posic-у это удастся сказать.

From:

vanja-y.livejournal.com

Ниже приведена цитата из статьи Тёрстона "On proof and progress in mathematics" (доступна в архиве).
Возможно она в какой-то мере ответит на Ваши вопросы объекте исследования математики и чем она занимается

It may sound almost circular to say that what mathematicians are accomplishing
is to advance human understanding of mathematics. I will not try to resolve this by
discussing what mathematics is, because it would take us far afield. Mathematicians
generally feel that they know what mathematics is, but find it difficult to give a good
direct definition. It is interesting to try. For me, “the theory of formal patterns”
has come the closest, but to discuss this would be a whole essay in itself.

Could the difficulty in giving a good direct definition of mathematics be an
essential one, indicating that mathematics has an essential recursive quality? Along
these lines we might say that mathematics is the smallest subject satisfying the
following:

• Mathematics includes the natural numbers and plane and solid geometry.

• Mathematics is that which mathematicians study.

• Mathematicians are those humans who advance human understanding of
mathematics.

In other words, as mathematics advances, we incorporate it into our thinking. As
our thinking becomes more sophisticated, we generate new mathematical concepts
and new mathematical structures: the subject matter of mathematics changes to
reflect how we think.

From:

Символы вообще (знаки на бумаге или экране) -- широкое понятие. "Математические символы" -- поуже, но тоже широкое. Но можно провести различие между подробно прописанным -- неважно даже, доказательством, выводом, как бы это ни называлось -- в общем, письменным обоснованием некого ответа, -- состоящим в основном из выкладок, и аналогичным обоснованием, состоящим в основном из рассуждений с отсылками к концепциям.

В первом будет больше математических символов, во втором больше математических терминов и слов естественного языка. В первом -- длинные формулы, связанные знаками равенств (или неравенств) с другими формулами -- формульные преобразования. Во втором -- короткие формулы, отдельные буквы, то, что называется "термы" (типа какого-нибудь H*_et(X,Q_l) и все, здесь формула заканчивается), и т.д. -- и всякие там существительные-прилагательные-глаголы между ними. Не преобразования выражений, записанных формулами, а отсылки к понятиям, выражаемым символами. Абзацы таких рассуждений с вкраплениями формул и местами вынесенным в отдельную строчку равенством двух формульных выражений, которое на этом заканчивается (продолжающей выкладки нет). Примерно так.

Не всякие следы на бумаге (в контексте математики) есть следы именно вычислений, короче говоря.

Edited Date: 2012-11-23 01:56 am (UTC)

From:

Понимание может обычно следовать после выкладки. Но оно обычно предшествует доказательству общего утверждения. Не понимаю, что вообще здесь происходит -- понял, как доказывать то-то -- а теперь и то-то -- картинка складывается, ура -- сейчас я подробно запишу эти доказательства, и будет у меня результат.

А вычислять так ничего и не понадобилось -- считай, повезло; а то бы это одно заняло пол рабочего дня, как минимум. А потом все равно думать, как заменить рассуждениями -- не писать же в статью/книгу такие выкладки, кого они когда в чем убедили (кроме того, что автор сам толком не понимает, о чем пишет, или просто не умеет писать тексты).

From: