Как объяснить ребенку, что такое эллиптические кривые и производные категории

[posic]

Из-под замка:

0. Ищется в интернете картинка с кубической кривой в вещественной плоскости. Можно даже две -- с одной связной компонентой и с двумя. Вот: это эллиптические кривые. (Например, в статье http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve есть хорошие картинки.)

1. Бывает на числах операция сложения, бывает на ненулевых числах -- умножения. А есть еще целое семейство похожих операций, следующий уровень. С каждым числом можно связать двухместную операцию на неком множестве. Числа образуют прямую, а в этом более сложном случае, получаются кривые. (Если последует вопрос, можно показать картинку, как складывать точки на кубической кривой.)

2. Бывают две отдельные точки, из одной в другую не пройдешь, не выходя за их пределы. А бывает окружность, на ней между двумя точками можно пройти двумя способами -- по часовой стрелке и против. А еще бывает сфера. А еще бывает тор, на нем есть окружности разных типов. Люди это изучали, и придумали производные категории.

Comments

[shine-lelik.livejournal.com]

да(и то, и другое)

[posic.livejournal.com]

Вот начало изложения постановки задачи, которую решает конструкция производного функтора инвариантов действия группы на абелевой группе (известного иначе как когомологии групп). Не самой конструкции, т.е., не решения, а именно постановки этой задачи.

Пусть группа G действует автоморфизмами на абелевой группе B; тогда B называют еще "G-модулем". Если A -- подгруппа B, то может случиться так, что операторы действия G отображают A в себя (переводя элементы B, принадлежащие A, в какие-то другие элементы, тоже принадлежащие A). Тогда A называется G-подмодулем в B.

В этой ситуации, можно определить действие G на факторгруппе B/A, поскольку операторы действия G переводят смежные классы B по A в смежные классы. Группа B/A с этой структурой G-модуля называется фактормодулем G-модуля B по его подмодулю A.

Рассмотрим такой функтор: G-модулю B сопоставляется подгруппа в B, состоящая из всех элементов, которые всеми операторами действия G переводятся в себя, т.е. всех таких b ∈ B, что g(b) = b для всех g ∈ G. Это подгруппа в B, и даже, строго говоря, G-подмодуль, но поскольку действие G на этом подмодуле тривиально (все операторы действия G тождественные, по определению), то на подгруппе этой нет другой структуры, кроме структуры абелевой группы. Подгруппа эта называется подгруппой G-инвариантных элементов в B и обозначается через B^G.

Пусть теперь имеется G-модуль B, в нем G-подмодуль A, и фактормодуль C = B/A. Зададимся вопросом: как связаны между собой подмодули G-инвариантных элементов A^G, B^G и C^G?

Утверждается, что: 1. A^G есть подгруппа в B^G (это совсем очевидно); 2. имеется естественным образом определенный гомоморфизм абелевых групп B^G в C^G (это нетрудно проверить -- в сущности, это частный случай несложного общего утверждения, что сопоставление B → B^G является ковариантным функтором); 3. ядро отображения B^G → C^G естественно изоморфно A^G (проверьте!).

Отсюда можно было бы сделать вывод, что C^G есть факторгруппа B^G по A^G, если бы мы знали, что отображение B^G → C^G сюръективно. Но это последнее в общем случае неверно. Функтор, переводящий B в B^G, не переводит, вообще говоря, сюръективные отображения в сюръективные. Это называется "нарушением точности": говорят, что функтор G-инвариантов, вообще говоря, не точен, но только точен слева.

Упражение: привести контрпример, показывающий, что отображение B^G → C^G (в обозначениях выше), в самом деле, может быть несюръективным.

Вопросы: 1) понятно ли вышеизложенное? 2) знали ли вы все это раньше? 3) можете ли вы решить упражнение? И, кроме того: 4) знакомы ли вы с терминологией "комплекс" и "точная последовательность"?

[vzr.livejournal.com]

Попробую я.:)
1) Да
2) В общих чертах. Конкретно этот пример, нет.
3) Пусть B=Z, A=2Z, C=Z2, G=Z, действующий так: n->n+2k
Тогда BG тривиальна, а CG=C, и только 0 - образ элемента из BG.
4) Да, да.

[posic.livejournal.com]

Вы считаете, что n->n+2k -- это действие Z на Z автоморфизмами? (Возможно, мне следовало остановиться подробнее на этом понятии, а то, как я погляжу, кто-то испугался, а кто-то и путается.)

[vzr.livejournal.com]

Упс, это не гомоморфизм получается.:)

[vzr.livejournal.com]

Ну тогда n->3nk ?

[posic.livejournal.com]

А это разве действие вообще?

[vzr.livejournal.com]

Да я уж и сам заметил, пардон. Надо подумать.

[vzr.livejournal.com]

Ну, попробую аккуратнее.
B=Z4 (0, e, 2e, 3e), A=Z2 (0, 2e), C=Z2 (0, e).
Пусть G=Z2, и действует умножениями на 3.
Тогда BG=Z2 (0, 2e), а CG=C. При отображении BG->CG элемент 2e принадлежит ядру, а e в CG остается без прообраза.
Или опять наврал? :)

[posic.livejournal.com]

Вот этот пример совершенно правильный.

[posic.livejournal.com]

Ну, собственно, все остальное вы, наверное, тоже слышали.

Краткое повторение вышеизложенного на другом языке: короткой точной последовательности G-модулей

0 → A → B → C → 0

функтор G-инвариантов сопоставляет точную последовательность абелевых групп

0 → A^G → B^G → C^G

(конец краткого повторения вышеизложенного).

Теперь целью теории производных функторов G-инвариантов (когомологий групп) является продолжение последней обрывающейся точной последовательности до длинной точной последовательности абелевых групп

0 → A → B → C →
H¹(G,A) → H¹(G,B) → H¹(G,C) →
H²(G,A) → H²(G,B) → H²(G,C) →
...

Здесь Hⁱ(G,M) -- некие ковариантные функторы, сопоставляющие G-модулям абелевы группы (ковариантные по G-модулю M и, на самом деле, в некотором смысле контравариантные по группе G). Стрелки в конце каждой строчки функториально зависят от короткой точной последовательности G-модулей 0 → A → B → C → 0. По определению, полагают H⁰(G,M) = M^G.

Самое важное в этой формулировке -- это феномен 3-периодичности, который здесь можно наблюдать. Препятствия к сюръективности отображения B^G → C^G лежат в некой абелевой группе, зависящей только от G-модуля A, а именно, H¹(G,A). Если задан некий элемент этой последней группы, то препятствия к возможности поднять его до элемента из C^G зависят только от G-модуля B, и т.д.

[vzr.livejournal.com]

Спасибо.
Только в этой длинной точной последовательности, наверно, должны быть в начале A^G, B^G, C^G?

Для понимания.
Я помню построение длинной точной последовательности когомологий из короткой точной последовательности комплексов. Эта длинная последовательность так и получается из первой короткой, если модули достроить до комплексов?

А стрелка из C^G должна ведь быть сюрьективной для точности?
Получается, что H¹(Z₂, Z₂)=Z₂?

[posic.livejournal.com]

Да-да, конечно:

0 → A^G → B^G → C^G →
H¹(G,A) → H¹(G,B) → H¹(G,C) →
H²(G,A) → H²(G,B) → H²(G,C) →
...

Да, так и получается. Так или иначе, в любой из конструкций, H*(G,M) суть когомологии какого-то комплекса, который строится (однозначно или с использованием произвольного выбора) по G и M. С короткой точной последовательностью модулей коэффициентов связана короткая точная последовательность таких комплексов.

Образом стрелки из C^G является ядро отображения H¹(G,A) → H¹(G,B), в этом состоит точность.

H¹(Z/2, Z/2) = Z/2, это верно. Вообще, при тривиальном действии G на М, группа первых когомологий H¹(G,M) изоморфна группе всех гомоморфизмов групп G → M.

[vzr.livejournal.com]

>>А стрелка из CG должна ведь быть сюрьективной для точности?
>Образом стрелки из CG является ядро отображения H1(G,A) → H1(G,B), в этом состоит точность.
Я имел в виду тот конкретный контрпример выше, где образ B^G→C^G нулевой, поэтому ядро отображения в H¹(G, A) тоже должно быть нулевое.

Можно еще вопросы? :)
Я так понимаю, все это используется для изучения групп и их расширений.
Но в H^*(G, A) группы G и A играют разную роль. Есть ли какое-то соответствие между H^*(G, A) и H^*(A, G)?
Если не ошибаюсь, в алгебр. топологии группа коэффициентов обычно играет вспомогательную роль, используют в основном R или Z, и ее меняют в основном для упрощения вычислений. Так ли это в этой науке?

[posic.livejournal.com]

В том примере, из того что отображение B^G → C^G нулевое, следует, что C^G вкладывается в H¹(G,A). Чтобы доказать, что это вложение является изоморфизмом, нужно еще как-то убедиться, что отображение H¹(G,A) → H¹(G,B) нулевое.

Соответствия между H*(G,A) и H*(A,G) нет, да и области определения у этих двух образований разные (если даже считать, что действие G на A тривиально, то все равно H*(G,A) имеет смысл для произвольной группы G и абелевой A -- хотя можно определить группу H⁰(G,A) и группу H¹(G,A) для неабелева G-модуля A, но с дальнейшими номерами когомологии бывают только с коммутативными коэффициентами).

В этой науке важны когомологии с коэффициентами в произвольных G-модулях, не только в тривиальных. В топологии это соответствует когомологиям произвольных локальных систем. Когомологии группы G с коэффициентами в G-модуле M изоморфны когомологиям топологического пространства K(G,1) с коэффициентами в локальной системе, соответствующей M.

[vzr.livejournal.com]

А, ну да, конечно. Но в данном случае, если наоборот, знать, что H¹(G, A)=Z₂, то это вложение тогда и будет автоматически изоморфизмом.

Ну я пока воздержусь от дальнейших вопросов. Чтобы дальше спрашивать, надо больше знать, а то вопросы станут совсем глупыми.:)
Спасибо за помощь. Я стал понимать чуть лучше, как это все выглядит, и зачем нужно.

[posic.livejournal.com]

т.е., множество H¹(G,A), конечно.