Как объяснить ребенку, что такое эллиптические кривые и производные категории

[posic]

Из-под замка:

0. Ищется в интернете картинка с кубической кривой в вещественной плоскости. Можно даже две -- с одной связной компонентой и с двумя. Вот: это эллиптические кривые. (Например, в статье http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve есть хорошие картинки.)

1. Бывает на числах операция сложения, бывает на ненулевых числах -- умножения. А есть еще целое семейство похожих операций, следующий уровень. С каждым числом можно связать двухместную операцию на неком множестве. Числа образуют прямую, а в этом более сложном случае, получаются кривые. (Если последует вопрос, можно показать картинку, как складывать точки на кубической кривой.)

2. Бывают две отдельные точки, из одной в другую не пройдешь, не выходя за их пределы. А бывает окружность, на ней между двумя точками можно пройти двумя способами -- по часовой стрелке и против. А еще бывает сфера. А еще бывает тор, на нем есть окружности разных типов. Люди это изучали, и придумали производные категории.

Comments

[posic.livejournal.com]

В том примере, из того что отображение B^G → C^G нулевое, следует, что C^G вкладывается в H¹(G,A). Чтобы доказать, что это вложение является изоморфизмом, нужно еще как-то убедиться, что отображение H¹(G,A) → H¹(G,B) нулевое.

Соответствия между H*(G,A) и H*(A,G) нет, да и области определения у этих двух образований разные (если даже считать, что действие G на A тривиально, то все равно H*(G,A) имеет смысл для произвольной группы G и абелевой A -- хотя можно определить группу H⁰(G,A) и группу H¹(G,A) для неабелева G-модуля A, но с дальнейшими номерами когомологии бывают только с коммутативными коэффициентами).

В этой науке важны когомологии с коэффициентами в произвольных G-модулях, не только в тривиальных. В топологии это соответствует когомологиям произвольных локальных систем. Когомологии группы G с коэффициентами в G-модуле M изоморфны когомологиям топологического пространства K(G,1) с коэффициентами в локальной системе, соответствующей M.

[vzr.livejournal.com]

А, ну да, конечно. Но в данном случае, если наоборот, знать, что H¹(G, A)=Z₂, то это вложение тогда и будет автоматически изоморфизмом.

Ну я пока воздержусь от дальнейших вопросов. Чтобы дальше спрашивать, надо больше знать, а то вопросы станут совсем глупыми.:)
Спасибо за помощь. Я стал понимать чуть лучше, как это все выглядит, и зачем нужно.

[posic.livejournal.com]

т.е., множество H¹(G,A), конечно.