Кстати о птичках

[posic]

http://mathoverflow.net/questions/62543/what-is-the-relation-between-hypocycloids-and-ideals-in-polynomial-rings-as-allud
http://www.ega-math.narod.ru/Arnold2.htm

Я не алгебраический геометр, конечно, но я написал пару статей по алгебраической геометрии. Я понятия не имею, что такое гипоциклоида. Может быть, я ее когда-то видел, но, безусловно, не сумел извлечь никакого смысла из увиденного.

Вопрос о форме поверхности, заданной уравнением xy = z², в ситуации, когда отвечать на него предлагается немедленно, вводит меня в ступор, это экспериментальный факт. (За пять лет до означенного эксперимента я, натурально, прочитал учебник и получил пятерку на экзамене по университетскому курсу по этим самым квадратичным поверхностям; эксперимент показал, что это не помогло. Меня зачислили в аспирантуру НМУ, закрыв глаза на провал эксперимента.)

Боюсь, что я скорее уж отличу синицу от снегиря, чем циклоиду от гипоциклоиды. Пойду редактировать свои сверхабстрактные алгебро-геометрические рассуждения в эпигонски-обобщенной статье по гомологической алгебре, схоласт-недоучка.

Comments

[vinopivets.livejournal.com]

Вы будете смеяться, но я отличаю гипоциклоиду от циклоиды и могу вас научить - без всяких квадратичных форм. Представим себе окружность, катящуюся по прямой. Циклоида - след точки на окружности, гипоциклоида - след точки, находящейся внутри этой окружности.

[posic.livejournal.com]

Удивился настолько, что полез в Википедию -- поскольку то, что вы описываете, не может быть алгебраическим многообразием, насколько я могу понять. Обнаружил там несколько другое определение -- http://en.wikipedia.org/wiki/Hypocycloid . Ну, это я могу отличить от циклоиды, пожалуй. Но воспоминаний о том, чтобы я разглядывал эти гипоциклоиды в детстве, у меня не осталось.

[vinopivets.livejournal.com]

Странно. Гипо- и эпициклоида была известна еще грекам, никакого катания по окружности там не было (те кривые - гипо-, эпи- и просто трохоиды, все эти кривые широко применяются в различных механизмах (откуда я о них и узнал в детстве). Как эти штуки связаны с алгебраическими многообразиями, я, конечно, не знаю, что у циклоид есть трансляционная симметрия, а у трохоид может быть, при подходящем соотношении параметров, поворотная - вполне очевидно.

[posic.livejournal.com]

Ничего не могу сказать по терминологическому вопросу. По поводу алгебраических многообразий -- я имел в виду, что циклоиду как подмножество плоскости нельзя задать системой алгебраических (полиномиальных) уравнений на координаты. Именно в силу характера симметрии, которым она обладает. В частности, нетрудно нарисовать прямую, которая пересекается с циклоидой (или с тем, что вы называете гипоциклоидой) по бесконечному дискретному множеству точек. Множество решений системы полиномиальных уравнений не может иметь бесконечное число связных компонент, это такой факт.

Видимо, Арнольд имел в виду именно кривую, получающуюся катанием по окружности, поскольку он упоминает ее в контексте алгебраических многообразий (идеалов в кольце многочленов и т.д.). Если отношение радиусов большой и малой окружности рационально, соответствующая кривая алгебраична.

[vinopivets.livejournal.com]

Да бог с ней, с терминологией, она может быть разной в разные времена, у разных авторов и даже в разных работох тех же авторов.
Дальше все понятно, я просто не знал термина "алгебраическое многообразие", пришлось читать и соображать, что это просто поверхность, описываемая алгебраическим уравнением :)

[misaile.livejournal.com]

о! спасибо огромное за текст Арнольда - крайне освежает.

офф: заодно понял, откуда у Вас аксиоматическое либертарианство - Вы ведь именно "преступный алгебраист-аксиоматизатор", как понимаю))

[posic.livejournal.com]

http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn

Абсолютно преступный, да.

[buddha239.livejournal.com]

Ну, я вот ни фига не либертарианец - но тоже недалеко ушел от "преступных алгебраистов-аксиоматизаторов".:)

[misaile.livejournal.com]

кстати, а что такое "теорема о классификации поверхностей"? (моя математика - это неоконченный физфак, и такого не упомню)

[posic.livejournal.com]

Что всякая компактная ориентируемая вещественная двумерная гладкая поверхность -- это сфера с несколькими ручками. Там есть еще некомпактное обобщение, где в ответе получаются сферы с ручками и дырками, и неориентируемый вариант, где в списке фигурируют проективная плоскость, бутылка Клейна и т.д. (но я не помню, как выглядит полный список).

Помню, как меня пугали в детстве байки про эти самые поверхности в журнале "Квант", и каким бальзамом на душу было услышанное лет в 13 определение гладкого многообразия с картами и атласами, по которому проходится Арнольд.

[buddha239.livejournal.com]

Классификация, вроде, не сложная (проверять лень): бывают сферы с ручками и с пленками (или-или); и в тех, и в других бывают дырки.:)

[posic.livejournal.com]

Точно, да, с пленками. Меня-ребенка пугала непонятность формулировки теоремы классификации (о чем вообще здесь речь идет? что такое поверхность?), а теперь пугает мысль о том, как могло бы выглядеть доказательство (наверняка там какая-нибудь мутная комбинаторика, рассуждения о способах склеить поверхность из треугольников).

[buddha239.livejournal.com]

Таки да, как-то так.:) То, что две разных поверхности неизоморфны, вероятно, нетрудно проверить когомологически, а вот чтобы доказать, что других нет - нужно как-то перекраивать триангуляции...:)

[posic.livejournal.com]

Там много непонятного, конечно. Ведь, вообще говоря, гладкие многообразия, топологические многообразия, триангуляции -- это все разные категории. Их эквивалентность в двумерном случае тоже надо как-то доказывать.

Кстати сказать, если говорить о некомпактных поверхностях, то я даже не знаю, какие условия надо наложить, чтобы исключить возможность сферы с бесконечным числом ручек. Паракомпактности вроде явно недостаточно, счетной базы -- тоже.

В общем, не изучил я оснований этой науки.

[buddha239.livejournal.com]

Точно недостаточно?:)

[posic.livejournal.com]

Мне кажется, нет. Насколько я помню, всякое метризуемое пространство паракомпактно; всякий CW-комплекс паракомпактен. А сферу со счетным числом ручек можно даже в R^3 вложить, и на счетное число клеток разбить можно.

[repressii.livejournal.com]

Для некомпактных, оно делается с использованием теоремы Римана об униформизации
(причем без нее оно строго не делается, кажется, никак)

[repressii.livejournal.com]

В НМУ, кстати, именно это и преподают
практически в том самом виде
то есть люди реально не знают, что такое
топологическое пространство (не знают определение),
но сдают задачи по топологической классификации
римановых поверхностей

Мехматскую архаику (функции на прямой, Лебег-стайл) Арнольд
разбавил своей собственной, хрен редьки не слаще

[posic.livejournal.com]

Интересно, а в Вышке что происходит (для сравнения)?

noncompact surfaces

[(Anonymous)]

Krome beskonechnogo kolichestva ruchek, v etoj nauke byvaet eshche, mozhet, bol'shaya pakost' - beskonechnoe kolichestvo dyrok.
Est' interesnaya rabota pokoinogo O. Schramm'a gde dokazyvaetsya
bolee-menee klassicheskii rezul'tat (ne pomniu formulirovki, no imenno
o tom chto mozhno vlozhit' v kompaktnuyu poverhnost' ... ( apprx. 1990).
V. Hinich

[repressii.livejournal.com]

топология довольно продвинутая, но в том же самом арнольдовском формате (то есть
практически без определений)

сдать ее можно, впрочем, вообще ничего не усвоив, преподаватели добрые