Кстати о птичках

[posic]

http://mathoverflow.net/questions/62543/what-is-the-relation-between-hypocycloids-and-ideals-in-polynomial-rings-as-allud
http://www.ega-math.narod.ru/Arnold2.htm

Я не алгебраический геометр, конечно, но я написал пару статей по алгебраической геометрии. Я понятия не имею, что такое гипоциклоида. Может быть, я ее когда-то видел, но, безусловно, не сумел извлечь никакого смысла из увиденного.

Вопрос о форме поверхности, заданной уравнением xy = z², в ситуации, когда отвечать на него предлагается немедленно, вводит меня в ступор, это экспериментальный факт. (За пять лет до означенного эксперимента я, натурально, прочитал учебник и получил пятерку на экзамене по университетскому курсу по этим самым квадратичным поверхностям; эксперимент показал, что это не помогло. Меня зачислили в аспирантуру НМУ, закрыв глаза на провал эксперимента.)

Боюсь, что я скорее уж отличу синицу от снегиря, чем циклоиду от гипоциклоиды. Пойду редактировать свои сверхабстрактные алгебро-геометрические рассуждения в эпигонски-обобщенной статье по гомологической алгебре, схоласт-недоучка.

Comments

[posic.livejournal.com]

Удивился настолько, что полез в Википедию -- поскольку то, что вы описываете, не может быть алгебраическим многообразием, насколько я могу понять. Обнаружил там несколько другое определение -- http://en.wikipedia.org/wiki/Hypocycloid . Ну, это я могу отличить от циклоиды, пожалуй. Но воспоминаний о том, чтобы я разглядывал эти гипоциклоиды в детстве, у меня не осталось.

[vinopivets.livejournal.com]

Странно. Гипо- и эпициклоида была известна еще грекам, никакого катания по окружности там не было (те кривые - гипо-, эпи- и просто трохоиды, все эти кривые широко применяются в различных механизмах (откуда я о них и узнал в детстве). Как эти штуки связаны с алгебраическими многообразиями, я, конечно, не знаю, что у циклоид есть трансляционная симметрия, а у трохоид может быть, при подходящем соотношении параметров, поворотная - вполне очевидно.

[posic.livejournal.com]

Ничего не могу сказать по терминологическому вопросу. По поводу алгебраических многообразий -- я имел в виду, что циклоиду как подмножество плоскости нельзя задать системой алгебраических (полиномиальных) уравнений на координаты. Именно в силу характера симметрии, которым она обладает. В частности, нетрудно нарисовать прямую, которая пересекается с циклоидой (или с тем, что вы называете гипоциклоидой) по бесконечному дискретному множеству точек. Множество решений системы полиномиальных уравнений не может иметь бесконечное число связных компонент, это такой факт.

Видимо, Арнольд имел в виду именно кривую, получающуюся катанием по окружности, поскольку он упоминает ее в контексте алгебраических многообразий (идеалов в кольце многочленов и т.д.). Если отношение радиусов большой и малой окружности рационально, соответствующая кривая алгебраична.

[vinopivets.livejournal.com]

Да бог с ней, с терминологией, она может быть разной в разные времена, у разных авторов и даже в разных работох тех же авторов.
Дальше все понятно, я просто не знал термина "алгебраическое многообразие", пришлось читать и соображать, что это просто поверхность, описываемая алгебраическим уравнением :)