Leonid Positselski

За всех не скажу, но у меня работы категории 3 рождали сильный отклик, а категории 2 -- недоумение.

From:

В общем, всяк сверчок знай свой шесток.

From:

Я говорил не об идеологической, а об эмоциональной реакции. К тому же, она скорее меня характеризует, чем авторов: про работы из категории 2 не знаешь, что думать, потому что сам не знаешь, как нужно было бы. Когда знаешь, реакция совсем другая.

From:

А в чем может заключаться удовлетворение от математической деятельности категории 2? В ощущении причастности?

From:

Я вас неправильно понял. Я подумал, что речь идет о реакции других людей на ваши работы, а теперь вижу, что вы говорили о вашей реакции на работы других людей.

Я не имел в виду, что у кого-либо такая идеологическая позиция, диктующая реакцию. Просто вывод такой, который по жизни получается.

From:

Виноват, я неточно высказался. Я подумал, что если несколько человек скажет, как они реагируют на разные категории, то, может быть, у Вас наберется достаточно материала для выводов. Про свои работы ничего сказать не могу, я мало публиковал и не думаю, что что-нибудь из этого попало в категорию 3.

From:

В надежде, что из этого что-то вырастет. Когда-нибудь придет кто-то умный и все поймет, а мои соображения будут ему подспорьем. Ну, собственно, это и называется ощущением причастности.

From:

Да, понимаю.

Мне нравилась высказанная когда-то Вами максима, что заниматься нужно тем, где без тебя не справятся. Ей, правда, трудно следовать.

From:

Да, мне очень интересно то, что вы написали. Спасибо.

From:

Ну, 1 и 4 - чего комментировать. Лучше быть богатым и здоровым, чем бедным и больным. Так что содержательное сравнение может быть - 2 и 3. Боюсь, что у меня подавляющее большинство работ относится к категории 2 (можно понадеяться/помечтать, что несколько дотягивают до 1, но это - 1 через 2, а не 1 через 3). То есть, я предпочитаю (и у меня лучше получается) частично и коряво решить интересную мне проблему, чем полностью и элегантно - неинтересную. Десяток работ относятся к категории 3. Я сам их очень ценю (как все, что удается изредка и с трудом), а научное сообщество - нет. Влияние этих работ на мою научную репутацию пренебрежимо мало.

Так что, все наоборот. Возможно, это разница математики и теоретической физики. Возможно, личные стили, конечно.

2 и 3 примерно соответствуют, по классификации Оствальда, "романтикам" и "классикам". Я, конечно, ярко выраженный "романтик".

From:

Мне кажется, тем, где есть шанс проявить в полной мере свои личные качества и особенности. Скажем, в теории графена или в теории магнетизма металлов, несомненно, справились бы без меня. Но язык был бы другой, акценты были бы расставлены существенно по-другому...

From:

Да, это существенная поправка, так точнее, чем я сказал.

From:

Говоря про свои работы, относящиеся к категории 3, я не имел в виду, что это решения неинтересных мне проблем. На самом деле, над некоторыми из этих проблем я думал много лет, начиная с довольно юного возраста, и был, конечно, ужасно рад, когда они решились (действительно, в каком-то смысле полностью). Скорее, я имел в виду, что эти проблемы, на мой взгляд, не относятся к числу самых важных для науки. Мне однажды Йосиф Бернштейн говорил -- "вы пишете подпрограмму". Ну вот, эти задачи -- это такие подпрограммы, вспомогательные результаты, которые можно использовать для чего-то. Развитие методов.

А мои попытки решать проблемы, на мой взгляд, важные сами по себе (категория 2) -- приводят к результатам, может быть, не таким уж корявым, но очень частичным. В основном это -- изобретение гипотез и доказательство импликаций, взаимосвязей между гипотезами. И это отчасти имеет вид -- человека с молотком из поговорки, которому всюду видятся гвозди. В результате взаимодействие с тем, что делают в этой области другие люди, оказывается довольно слабым.

From:

Ну, "интересная мне" - это обычно и значит для меня "важная для науки, в моем представлении".

Про человека с молотком - я так точно не умею. То есть, у меня есть набор любимых молотков (континуальное интегрирование, квазиклассика, "катастрофа ортогональности"...), но как раз это не очень хорошо получается, когда пытаюсь идти от метода. Получаются работы, которыми мне самому нравятся, а больше, более-менее, никому.

From:

marina_p

Бывает ещё, что хочется узнать, как что-то устроено, и единственный шанс -- разобраться самой. А уж получится путь к ответу "правильным" или нет, заранее не знаешь.

From:

buddha239.livejournal.com

Мне кажется, что это, все же, немного черно/белая (в квадрате:)) классификация. Особенно по признаку "что надо". Или же считать, что все более-ли-менее интересные результаты - нужные?:)

From:

Здесь "что надо" -- не в смысле для чего-то надо, а в смысле надо само по себе. Важная и интересная задача, ценность решения которой не вызывает сомнений. Конечно, это на самом деле непрерывный спектр. Но шкала измерений на этом спектре есть -- ее задают важнейшие открытые проблемы в данной области.

From:

buddha239.livejournal.com

Тут ключевая фраза - "в данной области". Достаточно часто можно очертить область, для которой твои результаты важны - труднее проверить, важна ли эта узкая область.:)

From:

Для меня такая деятельность относится к категории 3; ведь когда продумываешь для себя, то ищещь не просто аргумент, а точку зрения, с которой все становится наиболее естественным и увязанным с остальной математикой. Если находишь, то это 3, а если нет, то и 2 не получается. Я, разумеется, говорю только о себе.

From:

marina_p

А почему "2 не получается"? Это же довольно стандартная ситуация: есть вопрос или задача (неважно, возникшие у тебя или кого-то другого), и удаётся решить/ответить на вопрос, но интерес представляет только ответ, а решение (которое может быть очень трудным технически) само по себе не очень интересно. У меня такое было пару раз как минимум.

То есть, я имею в виду, что "что надо" в этой ситуации -- это получить ответ на вопрос или доказать гипотезу, например.

Edited Date: 2010-08-31 02:44 pm (UTC)

From:

но интерес представляет только ответ, а решение (которое может быть очень трудным технически) само по себе не очень интересно. У меня такое было пару раз как минимум.

Возможно, это зависит от рода деятельности, твоей и моей, мне трудно сказать. Я скорее исходил из той точки зрения, что методы интереснее ответов и если я доказательство неинтересное, значит понимания в задаче нет, и "как надо" она не сделана. Я, конечно, думал о вещах, которые считал важными в той математике, которой интересовался, но когда получал результат "как мог", то он у меня самого вызывал отвращение.

From:

marina_p

Кажется, имеется какая-то путаница. "2" -- это же и есть "что надо, как могут".

У меня такие вещи возникали в нестандартном анализе. Отвращения не вызывало, но и особого подъёма тоже не было. Отчасти из-за этого я его и бросила.

From:

Давай я приведу пример.

Классическая задача из геометрии чисел: возьмем окружность радиуса R с центром в начале координат, и подсчитаем число точек целочисленной решетки внутри этой окружности. При больших R это число будет близко к площади круга радиуса R. Насколько велика может быть ошибка? Смежный вопрос: как много может оказаться целых точек на такой окружности целочисленного радиуса?

Довольно просто можно получить оценку, что остаточный член в асимптотическом представлении числа целых точек в круге радиуса R есть O(R^2/3). Из работ Харди и Литтлвуда следует, что отношение остаточного члена к R^1/2 может принимать сколь угодно большие значения. После этого они сформулировали гипотезу, что этот остаточный член удовлетворяет оценке О(R^η) для всякого η> 1/2. С тех пор в теории чисел возник такой вид спорта -- доказать эту оценку с возможно меньшим η. Лет десять назад (когда я в последний раз интересовался каков мировой рекорд), мировой рекорд улучшал предыдущую η на 1/2000 с какими-то логарифмическими множителями. Все эти рекорды получаются все более изощренными манипуляциями с тригонометрическими суммами и совершенно ясно, что во-первых нет никакой надежды этим способом добраться до 1/2, во-вторых, что смысл этих манипуляций непонятен никому, в том числе и авторам результатов. Для меня это типичный пример деятельности типа 2, и я совершенно не понимаю, что могло бы подвигнуть меня этим заниматься.

При всем при том, что лет двадцать назад Хит-Браун уже получил в этой деятельности результат типа 3: он показал, что отношение остаточного члена к R^1/2 ведет себя при больших R как случайная величина и вычислил статистические характеристики этой случайной величины. Следующим шагом типа 3 было бы доказательства аналога закона повторного логарифма для этого случая. Я могу понять человека, который бы мог увлечься этим (но могу понять и того, кого это не увлечет). А вот описанная выше деятельность, после того, как была доказана оценка O(R^2/3) мне представляется совершенно бессмысленной тратой времени и ресурсов.

From:

А.Г. мне как-то сказал: Есть три способа заниматься наукой. Можно заниматься общими законами механики. Можно заниматься механикой игры на бильярде. А можно изучать, как повлияли бы на движение бильярдного шара волосы, если бы они на нем вдруг выросли. 90% работ по теории графена относится к третьей категории.

Я охотно согласился. Мои работы явно укладываются в пределах 10%, так что - не противоречит.

From:

Я понял. Мы действительно говорим о разных вещах. Ты, насколько я понял защищаешь 2 в виде "раз это важно, то лучше сделать хоть как-нибудь, чем никак", мой же протест вызывает то, во что 2 часто вырождается: "раз это важно, то сделаем хоть что-нибудь".

From:

Ты уже вернулся!
АГ бьет не в бровь, а в глаз.

From:

Я согласен, что деятельность типа 2 при уменьшении переменной величины "как могут" в конце концов вырождается в совершенно бессмысленную. Но мне кажется, что и деятельность типа 3 при уменьшении переменной величины "что могут" в конце концов вырождается в почти столь же бессмысленную. В прозрачнейшем из доказательств совершенно неинтересного утверждения тоже немного радости.

Говоря о задаче про круг и целые точки -- вы почти наверняка это знаете, но давайте я напишу просто на всякий случай, для читателей-неспециалистов. На вопрос о числе целых точек на окружности данного радиуса (с центром в нуле) есть совершенно точный ответ, хотя из него, наверно, трудно сделать хорошую оценку порядка величины. Число решений уравнения x² + y² = n в целых числах равно 4(d₊(n) − d₋(n)), где d₊(n) есть число всех положительных делителей вида 4k + 1, а d₋(n) есть число всех положительных делителей вида 4k − 1 у числа n (где k целое).

From:

Согласен, конечно. Результат при стремлении переменной "мочь" к нулю, всегда наводит на грустные размышления.

Я хотел сперва упомянуть формулу для числа целых точек на окружности целочисленного радиуса, но потом передумал, поскольку затруднился определить его класс. Наверное, все же 1. Хотя некоторые аналитики со мной могут не согласиться.

From: