Неретин о кризисе современной математики

[posic]

http://www.mat.univie.ac.at/~neretin/zhelobenko/berezin.pdf

"Ситуация в математике и математической физике в последние 10-15 лет быстро становится все более зловещей. Эта точка зрения уже не очень оригинальна, см., например, статьи В.И.Арнольда и С.П.Новикова по этому поводу. В частности, наступил кризис способности (и желания!) математиков понимать друг друга. Эта "частность", в свою очередь, должна повлечь много иного, не столь частного. Вопрос Арнольда "Выживет ли математика?" не есть риторика. Разумные реакции уже сильно запоздали, и выйти из тупика нельзя без тяжелых потерь. Уже началось необратимое омертвение больших массивов содержательных текстов. Они уже никогда и никем не смогут быть прочитаны.

Сложность современной математики (математика, вообще-то, наука [Не совсем верно, что математика -- наука (в старом смысле слова), теперь это скорее род деятельности, вне деятельности она не может существовать, что создает проблемы в поисках контактов с нематематиками] простая, но сейчас, правда, стала несколько сложноватой) является лишь поверхностным объяснением. В действительности современные математические тексты значительно сложнее, чем их содержание. Силы людей кончаются на уровне попыток прочтения текстов, до содержания дело просто не доходит [Удивительно, сколь многое изменилось за последние 25 лет. Я, будучи аспирантом, купив в магазине (суперновейшую) переводную книжку издательства "Мир", мог сесть в электричку и там спокойно ее читать. Интересно представить себе современного математика-аспиранта, читающего в электричке монографию совсем не по своей тематике. \\ Статьи, которые невозможно прочесть, тогда уже появились, но некоторое время, пока все не привыкли, это вызывало удивление. Доклады на конференциях, где у рассказчика нет ни малейшего желания быть понятым, а у зрителей нет даже идеи что-либо понять, начали появляться на моей памяти и постепенно стали преобладающим зрелищем.]. Кстати, и голова теперь забита своей "родной" терминологией настолько, что никакой иной уже понимать не хочется.

<...>

Другое объяснение сложности современной математики -- усиливающаяся социоцентризация науки. С одной стороны, математики объективно обладают бо'льшими возможностями для индивидуальной работы, чем другие исследователи. Но с другой стороны, внешних сил, сдерживающих эту социоцентризацию, в чистой математике нет. Наконец, в условиях непонятности текстов индивидуальная оценка чужой деятельности становится невозможной. Таким образом, формирование общественного мнения становится чисто социальным процессом, оторванным от собственно научного профессионализма [Стоит заметить, что и то и другое сцеплено также с процессом "умножения сущностей сверх меры".]. По нынешним временам, скажем точнее, математический смысл становится "кажимостью", оторванной от настоящей (социальной) реальности. Математика решительно идет к своим собственным "зияющим высотам" [...].

<...>

Математическая Москва между 1945 и 1990 годами была выдающимся явлением, возможно, необычным в истории науки вообще. Но из-за замкнутости и сравнительной многолюдности этого мира процессы социоцентризации там протекали относительно быстро. И сейчас, 17 лет спустя, во многом благодаря инерции этих процессов (превратившихся в фарс), Москва больше не является математическим центром."

Comments

[akater.livejournal.com]

Во втором абзаце очень высокая концентрация квадратных и круглых скобок, да ещё и какое-то \\ рядом. Тяжеловесно.

[posic.livejournal.com]

Это я зачем-то вставил сноски внутрь текста. Можно вместо этого читать pdf-файл по ссылке, параграф 1.14.

[hippie57.livejournal.com]

Что-то мне кажется, что уважаемый автор выдаёт желаемое за действительное. В той же теории представлений относительно простое кончилось где-то в 1970 году. В алгебраической геометрии и алгебраической топологии и того раньше.

[posic.livejournal.com]

До какой-то степени я могу подтвердить его воспоминания: когда я был студентом (15-20 лет назад), я покупал свежеизданные книжки и читал их в электричке. Электричка, правда, вскоре приезжала ко мне домой, так что ознакомление с содержанием монографий в основном ограничивалось введениями. Интересно, делают ли так современные студенты или аспиранты.

[hippie57.livejournal.com]

Погоди-погоди. А часто ли те свежеизданные книжки были переводами чего-то, изданного по-английски меньше чем лет за 15 до того? И не были ли они учебниками? Либо сборниками докладов семинара Бурбаки? Я вот недавно смотрел чудесную статью Гоерсса, кажется, изложение его бурбаковского доклада, про работы Лури. Вполне читаемо. Увлекательно. Но обзорно, конечно.

[posic.livejournal.com]

Мне кажется, они бывали свежими монографиями, да.

[hippie57.livejournal.com]

Ну, что издается по-русски нынче, я не знаю, а по-английски, мне кажется, как и раньше, многое зависит от области математики. Есть области, например, тропическая геометрия, где и сейчас тексты наглядны. Но это ведь очень молодая наука -- тропическая геометрия.

[chaource.livejournal.com]

"у рассказчика нет ни малейшего желания быть понятым, а у зрителей нет даже идеи что-либо понять"

Неужто правда всё такъ плохо?? А для чего тогда вообще доклады?

И другой вопросъ: почему тексты стали непонятными, - а раньше были понятными? Что значитъ фраза "современные математические тексты значительно сложнее, чем их содержание"?

[buddha239.livejournal.com]

Ну, бывает, что на докладах присутствуют специалисты. А так - сидят из вежливости.:) У кого-то может быть желание получить какое-то представление о данной деятельности - и это как раз вполне реально.

[posic.livejournal.com]

Я не знаю, для чего доклады, я не хожу на них, за редкими исключениями. Если на очень близкую мне тему, могу иногда сходить, но не с тем, чтобы все понять, а с тем, чтобы быстро уловить несколько ключевых идей для последующего самостоятельного продумывания.

Тяжеловесно писать очень стали, высокоабстрактно и технически. Если читатель хочет что-нибудь понять, он должен отложить статью и начать делать упражнения (сформулированные в ней или нет), чтобы овладеть понятийной системой.

[chaource.livejournal.com]

А справедливо ли обвиненiе Харишъ-Чандры въ томъ, что онъ началъ писать тяжело ("бронированно"), чтобы его трудно было понять?

У физиковъ эта проблема тоже есть, но она не въ излишней тяжести изложенiя, а въ недостаточности деталей и объясненiй, въ акцентированiи конкретныхъ, длинныхъ вычисленiй (а не идей или мотивировокъ). Есть и такiе, кто нарочно недоговариваетъ или пишетъ туманно - чтобы потомъ можно было сказать: "а я уже это написалъ ещё въ 19хх году, внимательно читайте мои статьи". Лучшiе изъ физиковъ не страдаютъ этимъ, пишутъ внятно и разумно. Но даже и лучшiе изъ физиковъ не всегда готовы потратить дополнительное время чтобы попробовать упростить вычисленiя, попробовать идейно другой или болѣе глубокiй подходъ, найти понятное и болѣе логичное объясненiе и т.д. Всё это требуетъ времени и силъ, и большинство не особенно старается, тѣмъ болѣе, что это всё равно не цѣнится - цѣнится лишь правильный результатъ вычисленiй. Правильный результатъ оправдываетъ всё, даже ошибку или некорректный шагъ въ доказательствѣ.

[posic.livejournal.com]

Понятия не имею, справедливо ли это обвинение. Честно признаться, я в жизни не открывал ни одной статьи Хариш-Чандры. Пары и модули Хариш-Чандры -- это для меня просто термины, знакомые из фольклора. Смысл их к тому же сильно зависит от того, кто и в каком контексте их употребляет, о чем я имею представление тоже в первую очередь из фольклора.

Я написал длинное замечание по поводу этой терминологии для своей будущей книжки. Оно открывается фразой "The terminology related to Harish-Chandra modules is a hopeless mess." Дальше в нем объясняется, что для меня что модули Хариш-Чандры, что категория O Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда, все едино, хотя классически это довольно противоположные вещи. Чтобы подчеркнуть эту индифферентность, я обозначаю то, что называю "категорией модулей Хариш-Чандры", буквой O, для ясности.

Sic transit.

[hippie57.livejournal.com]

У меня как раз впечатление, что с докладами всё просто. Если это американский стиль, то доклад длиной в час не касается технических сторон вопроса, есть мотивировки, нет половины определений, нет доказательств. Если это французский стиль, то мотивировок меньше, определений и утверждений больше, возможны идеи доказательств. Если это русский стиль (редкость, конечно), то доклад бесконечен, в нем есть и техника, и доказательства, и, если повезёт, мотивировки. Русский стиль в среднем воспринимается как садо/мазо. И в этом есть смысл, потому что технические вопросы при желании можно задать приватно. Или по е-мейлу, мир стал тесен.

[chaource.livejournal.com]

Думаю, "русскiй стиль" это просто отсутствiе намѣренно выбраннаго стиля.

[hippie57.livejournal.com]

Нет, почему же? Скажем, у нас в Торонто есть еженедельный семинар, который официально длится 2 часа, докладчику заранее известно, что его могут спросить о чем угодно в любой момент, посему у него есть и время, и внимание аудитории на то, чтобы делать не обзор, а детальный доклад. Собственно, замедление доклада из-за вопросов с мест -- классическое проявление русского стиля. Такой анти-пауерпоинт. Садо/мазо по взаимному согласию -- не грех :)

[marina_p]

Почему садо/мазо? По-моему, это и для докладчика гораздо приятнее, чем пауерпоинт, и для слушателей.

[hippie57.livejournal.com]

Ну, пауэрпойнт я сам не люблю, в качестве слушателя, а в качестве докладчика -- не умею. Русский стиль, даже в качественном варианте, предполагает грамотность слушателей, заинтересованность и адекватность. То есть так рассказывать можно только тем, кто тебя попросил конкретно рассказать вот про это и это. Соответственно, это, видимо, будут блисжайшие коллеги, либо их ученики и соавторы, больше никому такая детальность не нужна в общем-то. Умение контролировать вопросы с мест -- большое искусство. Под грамотным контролем вопросы с мест не замедляют доклад и не путают его. Так происходит на лучших семинарах, у Дринфельда, у Салливана, у Громова. Везде предполагается наличие хотя бы одного специалиста (скажем, семинарского босса в предыдущих примерах), у которого есть свое мнение о том, что будет рассказано, и свои собственные желания на предмет того, что должно быть поведано в деталях. В большинстве мест такого бесконечно грамотного специалиста просто нет, посему ежели желается, чтоб доклад хоть кто-то понял, приходится прятать под ковер практически всю технику.

[marina_p]

Я делала не так много докладов на разных семинарах (все -- в России), но все они проходили именно в том стиле, который называется тут русским. На всех никаких ближайших коллег не было, достаточно посторонние люди. "Хотя бы одного специалиста, у которого есть свое мнение о том, что будет рассказано" обычно тоже вроде бы не было. И проблем это не создавало.

[hippie57.livejournal.com]

Так то в России. В Америке довольно часто к кону часа, по звонку, половина слушателей встаёт и уходит, вне зависимости от того, закончен ли доклад. Это вежливость докладчика -- закончить по звонку. Если тема большая, за 50 минут при всем желании никаких деталей не расскажешь. А если хочешь, чтоб врубились и те, кто ничего похожего никогда не слышал (но занимается не совсем уже перпендикулярными вещами, в последнем случае вообще всё безнадежно, это уже особое умение, в такой аудитории что-то сказать), приходится говорить приблизительно, детали опускать, формулировки облегчать от технических подробностей.

[jedal]

Если [технические детали, разговоры на много часов] по взаимному согласию, то всем приятно. А иначе какое-то насилие получается. (В частности, если одна из сторон (докладчик или аудитория) просит остановиться, то надо остановиться.) По-моему так.

[hippie57.livejournal.com]

Это конечно. Но если, скажем, докладчик рассчитывал на внимание аудитории в течение как минимум полутора часов, а аудитории и 50 минут многовато, то будет классическая сексуальная фрустрация -- прерванный акт.

[elepha5.livejournal.com]

Кстати, физиологи говорят, что начиная с какого-то момента прерывание в принципе невозможно. Был такой судебный процесс в Израиле, когда женщина посередине передумала, мужчина не остановился, она подала заявление об изнасиловании, но его адвокат, ссылаясь на этот факт, доказал, что он уже и не мог остановиться, и мужика оправдали.

Интересно было бы посмотреть, как реализуется это наблюдение применительно к научным докладам...

[bbb.livejournal.com]

Леня, а есть какая-то оценка - в какой мере современная математика "выплескивается" в естественные науки? Какие из новых достижений математики находят использование в естественных науках? В какой степени развитие современной математики вызвано запросами со стороны естественных наук? И, наконец, можно ли говорить о существовании каких-то хронологических тенденций в этом деле - скажем, до года (десятилетия) Икс было так-то и так-то, а потом стало иначе?

[posic.livejournal.com]

Я не знаю никаких исследований на эту тему, и могу только набросать некую общую приблизительную картину. Современная чистая математика в лице своих важнейших достижений и направлений исследования не мотивирована запросами со стороны естественных наук, не применяется и в обозримое время не будет применяться в естественных науках, за единственным исключением условно-естественной науки теорфизики такого рода, который описан здесь -- http://posic.livejournal.com/354799.html То есть такой, которая сама не связана с экспериментом или какими-либо экспериментальными науками, не говоря уже практических приложениях, и является чистой игрой ума, подобной самой математике, но исходящей из иных ориентиров.

Историю складывания этой ситуации обычно рассказывают так: до какого-то момента математики и физики тесно взаимодействовали, одним из ярких поздних примеров этого взаимодействия можно считать разработку общей теории относительности (около 1915 г.). После этого пути их разошлись, и знаменитые физики прославились скептическими высказываниями о математиках, вроде известных слов Фейнмана "I am not interested in what today's mathematicians find interesting". И уже во второй половине 20 века, может быть где-то годов с 1970-х, начинается новое сближение математики и физики, на новых условиях и зачастую с сильным доминированием физиков, но таких физиков, которые от того, что традиционно считалось физикой, сами становятся все более далеки. Характерный для новой эпохи способ взаимодействия состоит в том, что математики пытаются перевести на свой язык и придать смысл, как они это понимают, каким-то мыслительным операциям, производимым физиками. Доказать в математическом смысле слова интересные для математиков утверждения, которые физики объявляют доказанными в своем смысле слова, и т.п. Переток идей в обратную сторону тоже идет, но с меньшей интенсивностью.

Случаи применения глубоких и относительно поздних математических идей в более традиционных, опирающихся на эксперимент разделах физики тоже случаются (например, теорема об индексе -- 1960-е годы -- используется таким образом), но мотивировать развитие чистой математики такая более традиционная физика сейчас не может.

По сравнению с взаимодействием с физикой, все остальные направления взаимодействия математики с другими видами деятельности несопоставимо менее значимы. В современных условиях математика применяется также в программировании, прежде всего в криптографии, и в криптографии применяется область математики, традиционно считавшаяся наиболее удаленной от приложений -- теория чисел. Но по сравнению с уровнем возможностей и проблем современной теории чисел, уровень того, что используется в криптографических приложениях, очень невысок, насколько я понимаю. Кроме того, в программировании используются какие-то идеи из теории категорий, например, но все это -- очень простые приложения.

[chaource.livejournal.com]

Я какъ разъ недавно изучалъ примѣненiе теорiи категорiй въ программированiи въ языкѣ Haskell. Дѣйствительно, это такое простое "приложенiе", что его можно понять, ничего не зная о теорiи категорiй, кромѣ опредѣленiя функтора и морфизма. Используется такъ называемая "монада". Что это такое въ математикѣ, я никогда не зналъ, а въ программированiи это что-то вродѣ такого функтора, который нельзя примѣнить дважды, потому что получается опять та же самая категорiя. Идея прекрасная, на самомъ дѣлѣ позволяетъ рѣзко сократить программный кодъ и сдѣлать его болѣе понятнымъ, болѣе общимъ, и тѣмъ не менѣе скомпилированная программа работаетъ примѣрно такъ же быстро. Я даже было сталъ размышлять о томъ, можно ли что-то подобное сдѣлать для программъ, выполняющихся сразу на многихъ процессорахъ, т.е. опредѣлить какой-то особаго рода функторъ. Ничего пока не придумалъ. :) Насколько я понимаю, прогрессъ въ современной компьютерной наукѣ пока ещё не достигъ такой степени, чтобы ясно понимать, какая алгебраическая структура лучше всего соотвѣтствуетъ параллельнымъ вычисленiямъ.

Я считаю, что самое важное для математиковъ - не потерять связи съ реальными приложенiями. Въ идеальной ситуацiи математикъ будетъ заниматься абстрактными вещами, но по-прежнему можетъ увидѣть, какъ эти абстрактные вещи получаются въ конкретномъ приложенiи. Къ сожаленiю, почти всѣ приложенiя - съ точки зрѣнiя математика "тривiальны", и математики утрачиваютъ къ нимъ интересъ. Такъ вотъ, не утрачивайте пожалуйста интересъ. :)

[posic.livejournal.com]

Одна из проблем с поддержанием интереса в том, что общего языка с прикладниками нет. Например, что значит "функтор нельзя применить дважды, потому что получается опять та же самая категория", я не вполне понимаю. Может быть, слово "категория" надо заменить на "объект"?

В любом случае, для математика монада -- это не такой функтор F, что F² = F, а такой функтор F, что имеется морфизм функторов F² -> F. И этот морфизм вовсе не обязан быть изоморфизмом.

Типичные примеры монад:
1. Векторному пространству V сопоставляется тензорное произведение A⊗V, где A -- ассоциативная алгебра. Если применить дважды, получится A⊗A⊗V, что вовсе не есть A⊗V. Есть только линейное отображение A⊗A⊗V → A⊗V, индуцированное умножением на A. Оно не является изоморфизмом.
2. Векторному пространству V сопоставляется симметрическая алгебра S(V), рассматриваемая как (бесконечномерное) векторное пространство. Если применить дважды, получится S(S(V)), что по "размеру" гораздо больше, чем S(V). Есть линейное отображение "раскрытия скобок" S(S(V)) -> S(V), но оно не является изоморфизмом.
3. Множеству X сопоставляется вещественное векторное пространство R[X], натянутое на X как на базис (множество конечных формальных линейных комбинаций элементов X с вещественными коэффициентами), рассматриваемое как множество. Если применить дважды, получится R[R[X]] -- нечто очень сильно бесконечномерное, даже если множество X было конечным. Есть отображение "раскрытия скобок" R[R[X]] -> R[X], но оно не является изоморфизмом.

Монады, для которых F² = F -- это какие-то очень простые монады, типа проекторов на полные подкатегории.

[chaource.livejournal.com]

Да, я конечно же неточно выразился. Морфизмъ функторовъ F^2->F является нетривiальнымъ и очень важнымъ отображенiемъ, которое въ языкѣ Haskell въ данномъ случаѣ всегда примѣняется (автоматически), поэтому получается тотъ эффектъ, что функторъ безполезно примѣнять дважды. "Монадное программированiе" заключается въ томъ, что сначала определяютъ функторъ F и морфизмъ F^2->F для конкретной части программы, после чего примѣняютъ этотъ функторъ къ какимъ-то интереснымъ морфизмамъ, автоматически получая морфизмы въ новой категорiи.

Напримѣръ, предположимъ, что мы написали нѣкую программу, вычисляющую сложную функцiю f(x) путёмъ большого количества операцiй, синусы, косинусы и т.д. Теперь стоитъ задача: каждое маленькое вычисленiе стоитъ столько-то долларовъ. Въ началѣ у насъ есть 100 долларов, и требуется вычислить остающiяся деньги послѣ вычисленiя f(x).

Въ обычномъ стилѣ программированiя надо передѣлать вѣсь кодъ, чтобы теперь каждый шагъ зналъ, сколько долларовъ осталось. Въ "монадномъ" стилѣ мы объявляемъ любое вычисленiе (сложенiе, умноженiе, синусъ, квадратный корень) морфизмами, послѣ чего пишется функторъ, который "поднимаетъ" любое вычисленiе до вычисленiя, знающаго свою цѣну въ долларахъ, и слѣдящаго за количествомъ оставшихся долларовъ. (Такъ сказать, "вычисленiе, оснащённое цѣнникомъ и чековой книжкой.") Этотъ функторъ затѣмъ примѣняется къ f(x), и всё. Функторъ является монадой потому, что не нужно дважды снабжать вычисленiе цѣнникомъ - "синусъ съ двумя цѣнниками и двумя чековыми книжками" эквивалентенъ синусу съ однимъ цѣнникомъ (возможно, съ другой цѣной) и чековой книжкой (съ другимъ балансомъ).

Достиженiе въ томъ, что люди поняли, какая именно абстракцiя здѣсь можетъ быть найдена, и реализовали её въ языкѣ программированiя. Потомъ оказалось, что монаду можно найти много гдѣ. Однако, пользоваться функторами въ языкѣ программированiя совсѣмъ непросто, особенно когда нѣсколько разныхъ функторовъ одновременно примѣняются. Я уже писалъ у себя, что функцiональное программированiе превышаетъ уровень абстракцiи, доступный среднему программисту.

[posic.livejournal.com]

Пример с навешиванием ценников на функции хороший, да.

[bbb.livejournal.com]

Спасибо, интересно, пошел думать :)