Неретин о кризисе современной математики

[posic]

http://www.mat.univie.ac.at/~neretin/zhelobenko/berezin.pdf

"Ситуация в математике и математической физике в последние 10-15 лет быстро становится все более зловещей. Эта точка зрения уже не очень оригинальна, см., например, статьи В.И.Арнольда и С.П.Новикова по этому поводу. В частности, наступил кризис способности (и желания!) математиков понимать друг друга. Эта "частность", в свою очередь, должна повлечь много иного, не столь частного. Вопрос Арнольда "Выживет ли математика?" не есть риторика. Разумные реакции уже сильно запоздали, и выйти из тупика нельзя без тяжелых потерь. Уже началось необратимое омертвение больших массивов содержательных текстов. Они уже никогда и никем не смогут быть прочитаны.

Сложность современной математики (математика, вообще-то, наука [Не совсем верно, что математика -- наука (в старом смысле слова), теперь это скорее род деятельности, вне деятельности она не может существовать, что создает проблемы в поисках контактов с нематематиками] простая, но сейчас, правда, стала несколько сложноватой) является лишь поверхностным объяснением. В действительности современные математические тексты значительно сложнее, чем их содержание. Силы людей кончаются на уровне попыток прочтения текстов, до содержания дело просто не доходит [Удивительно, сколь многое изменилось за последние 25 лет. Я, будучи аспирантом, купив в магазине (суперновейшую) переводную книжку издательства "Мир", мог сесть в электричку и там спокойно ее читать. Интересно представить себе современного математика-аспиранта, читающего в электричке монографию совсем не по своей тематике. \\ Статьи, которые невозможно прочесть, тогда уже появились, но некоторое время, пока все не привыкли, это вызывало удивление. Доклады на конференциях, где у рассказчика нет ни малейшего желания быть понятым, а у зрителей нет даже идеи что-либо понять, начали появляться на моей памяти и постепенно стали преобладающим зрелищем.]. Кстати, и голова теперь забита своей "родной" терминологией настолько, что никакой иной уже понимать не хочется.

<...>

Другое объяснение сложности современной математики -- усиливающаяся социоцентризация науки. С одной стороны, математики объективно обладают бо'льшими возможностями для индивидуальной работы, чем другие исследователи. Но с другой стороны, внешних сил, сдерживающих эту социоцентризацию, в чистой математике нет. Наконец, в условиях непонятности текстов индивидуальная оценка чужой деятельности становится невозможной. Таким образом, формирование общественного мнения становится чисто социальным процессом, оторванным от собственно научного профессионализма [Стоит заметить, что и то и другое сцеплено также с процессом "умножения сущностей сверх меры".]. По нынешним временам, скажем точнее, математический смысл становится "кажимостью", оторванной от настоящей (социальной) реальности. Математика решительно идет к своим собственным "зияющим высотам" [...].

<...>

Математическая Москва между 1945 и 1990 годами была выдающимся явлением, возможно, необычным в истории науки вообще. Но из-за замкнутости и сравнительной многолюдности этого мира процессы социоцентризации там протекали относительно быстро. И сейчас, 17 лет спустя, во многом благодаря инерции этих процессов (превратившихся в фарс), Москва больше не является математическим центром."

Comments

[chaource.livejournal.com]

Я какъ разъ недавно изучалъ примѣненiе теорiи категорiй въ программированiи въ языкѣ Haskell. Дѣйствительно, это такое простое "приложенiе", что его можно понять, ничего не зная о теорiи категорiй, кромѣ опредѣленiя функтора и морфизма. Используется такъ называемая "монада". Что это такое въ математикѣ, я никогда не зналъ, а въ программированiи это что-то вродѣ такого функтора, который нельзя примѣнить дважды, потому что получается опять та же самая категорiя. Идея прекрасная, на самомъ дѣлѣ позволяетъ рѣзко сократить программный кодъ и сдѣлать его болѣе понятнымъ, болѣе общимъ, и тѣмъ не менѣе скомпилированная программа работаетъ примѣрно такъ же быстро. Я даже было сталъ размышлять о томъ, можно ли что-то подобное сдѣлать для программъ, выполняющихся сразу на многихъ процессорахъ, т.е. опредѣлить какой-то особаго рода функторъ. Ничего пока не придумалъ. :) Насколько я понимаю, прогрессъ въ современной компьютерной наукѣ пока ещё не достигъ такой степени, чтобы ясно понимать, какая алгебраическая структура лучше всего соотвѣтствуетъ параллельнымъ вычисленiямъ.

Я считаю, что самое важное для математиковъ - не потерять связи съ реальными приложенiями. Въ идеальной ситуацiи математикъ будетъ заниматься абстрактными вещами, но по-прежнему можетъ увидѣть, какъ эти абстрактные вещи получаются въ конкретномъ приложенiи. Къ сожаленiю, почти всѣ приложенiя - съ точки зрѣнiя математика "тривiальны", и математики утрачиваютъ къ нимъ интересъ. Такъ вотъ, не утрачивайте пожалуйста интересъ. :)

[posic.livejournal.com]

Одна из проблем с поддержанием интереса в том, что общего языка с прикладниками нет. Например, что значит "функтор нельзя применить дважды, потому что получается опять та же самая категория", я не вполне понимаю. Может быть, слово "категория" надо заменить на "объект"?

В любом случае, для математика монада -- это не такой функтор F, что F² = F, а такой функтор F, что имеется морфизм функторов F² -> F. И этот морфизм вовсе не обязан быть изоморфизмом.

Типичные примеры монад:
1. Векторному пространству V сопоставляется тензорное произведение A⊗V, где A -- ассоциативная алгебра. Если применить дважды, получится A⊗A⊗V, что вовсе не есть A⊗V. Есть только линейное отображение A⊗A⊗V → A⊗V, индуцированное умножением на A. Оно не является изоморфизмом.
2. Векторному пространству V сопоставляется симметрическая алгебра S(V), рассматриваемая как (бесконечномерное) векторное пространство. Если применить дважды, получится S(S(V)), что по "размеру" гораздо больше, чем S(V). Есть линейное отображение "раскрытия скобок" S(S(V)) -> S(V), но оно не является изоморфизмом.
3. Множеству X сопоставляется вещественное векторное пространство R[X], натянутое на X как на базис (множество конечных формальных линейных комбинаций элементов X с вещественными коэффициентами), рассматриваемое как множество. Если применить дважды, получится R[R[X]] -- нечто очень сильно бесконечномерное, даже если множество X было конечным. Есть отображение "раскрытия скобок" R[R[X]] -> R[X], но оно не является изоморфизмом.

Монады, для которых F² = F -- это какие-то очень простые монады, типа проекторов на полные подкатегории.

[chaource.livejournal.com]

Да, я конечно же неточно выразился. Морфизмъ функторовъ F^2->F является нетривiальнымъ и очень важнымъ отображенiемъ, которое въ языкѣ Haskell въ данномъ случаѣ всегда примѣняется (автоматически), поэтому получается тотъ эффектъ, что функторъ безполезно примѣнять дважды. "Монадное программированiе" заключается въ томъ, что сначала определяютъ функторъ F и морфизмъ F^2->F для конкретной части программы, после чего примѣняютъ этотъ функторъ къ какимъ-то интереснымъ морфизмамъ, автоматически получая морфизмы въ новой категорiи.

Напримѣръ, предположимъ, что мы написали нѣкую программу, вычисляющую сложную функцiю f(x) путёмъ большого количества операцiй, синусы, косинусы и т.д. Теперь стоитъ задача: каждое маленькое вычисленiе стоитъ столько-то долларовъ. Въ началѣ у насъ есть 100 долларов, и требуется вычислить остающiяся деньги послѣ вычисленiя f(x).

Въ обычномъ стилѣ программированiя надо передѣлать вѣсь кодъ, чтобы теперь каждый шагъ зналъ, сколько долларовъ осталось. Въ "монадномъ" стилѣ мы объявляемъ любое вычисленiе (сложенiе, умноженiе, синусъ, квадратный корень) морфизмами, послѣ чего пишется функторъ, который "поднимаетъ" любое вычисленiе до вычисленiя, знающаго свою цѣну въ долларахъ, и слѣдящаго за количествомъ оставшихся долларовъ. (Такъ сказать, "вычисленiе, оснащённое цѣнникомъ и чековой книжкой.") Этотъ функторъ затѣмъ примѣняется къ f(x), и всё. Функторъ является монадой потому, что не нужно дважды снабжать вычисленiе цѣнникомъ - "синусъ съ двумя цѣнниками и двумя чековыми книжками" эквивалентенъ синусу съ однимъ цѣнникомъ (возможно, съ другой цѣной) и чековой книжкой (съ другимъ балансомъ).

Достиженiе въ томъ, что люди поняли, какая именно абстракцiя здѣсь можетъ быть найдена, и реализовали её въ языкѣ программированiя. Потомъ оказалось, что монаду можно найти много гдѣ. Однако, пользоваться функторами въ языкѣ программированiя совсѣмъ непросто, особенно когда нѣсколько разныхъ функторовъ одновременно примѣняются. Я уже писалъ у себя, что функцiональное программированiе превышаетъ уровень абстракцiи, доступный среднему программисту.

[posic.livejournal.com]

Пример с навешиванием ценников на функции хороший, да.