Как я дошел до жизни такой - 1

По состоянию на 2007-09 годы, основным объектом моего интереса была ситуация с двумя группами переменных. Иногда с тремя группами переменных. Проще всего представить себе кольцо с подкольцом -- скажем, кольцо многочленов от двух групп переменных, в нем подкольцо многочленов от первой группы переменных, переменные из второй группы в подкольцо не входят.

Здесь "две группы переменных" -- это упрощающая метафора, конечно. Можно говорить о произвольном кольце с подкольцом, скажем, потребовав, чтобы объемлющее кольцо было проективным модулем над подкольцом с обеих сторон или что-то в этом роде. Но и это упрощение. На самом деле, меня интересовали "алгебры над коалгебрами" и "коалгебры над алгебрами" -- если продолжать пользоваться метафорой, то можно говорить о том, что это ассоциативные алгебраические структуры, в которых разделение "переменных" на две группы не выбрано произвольно, но изначально зашито в саму структуру, в ее аксиомы.

В этом контексте меня интересовали, в частности, модули (комодули, полумодули...), "проективные по части переменных в кольце" или "инъективные по части переменных в кольце". Скажем, проективные по первой группе переменных, а по второй -- произвольные. Или проективные по первой группе переменных, а по второй -- инъективные.

Это называется полубесконечная гомологическая алгебра. Называется она так потому, что там потом рассматриваются двусторонние производные функторы -- смеси левого производного функтора по одной группе переменных и правого производного функтора по другой. Это такие последовательности абелевых групп или векторных пространств (ко)гомологий, обычно бесконечномерных, занумерованные не натуральными, как в классических теориях гомологий и когомологий, а всеми целыми числами.

***

Одна из мыслей, крутившихся в моей голове все эти годы, состояла в том, что можно пользоваться и другой упрощающей метафорой -- говорить не о "модулях, проективных по части переменных", а вообще об "отчасти проективных модулях", модулях каких-то более широких классов, включающих проективные модули. Очевидным важнейшим примером таких обобщенно-проективных модулей мне виделись, конечно, плоские модули. Я думал о том, что распространяя полубесконечную деятельность на смежные области гомологической алгебры, я когда-нибудь в будущем буду что-то делать с плоскими модулями.

Как я дошел до жизни такой - 2

Прошли три года, и с апреля 2012 по февраль 2014 года основным объектом моего интереса стали контрагерентные копучки. Это двойственно-аналогичное понятие к квазикогерентным пучкам, которое на протяжении всего периода с весны 2009 по весну 2012 я пытался придумать, и в итоге придумал.

Обнаружилось при этом, что главное явление природы, ответственное за хорошие гомологические свойства категории квазикогерентных пучков, состоит в том, что кольцо функций на аффинной открытой подсхеме аффинной схемы является плоским модулем над кольцом функций на объемлющей аффинной схеме. А главной проблемой, ответственной за более сложное (по сравнению с квазикогерентными пучками) поведение контрагерентных копучков, оказалось то, что модуль этот -- плоский, да, но не проективный.

Сразу же, весной 2012, наметились как бы два рукава, два потока теории контрагерентных копучков. Один состоял в том, чтобы попытаться ограничить масштабы проблемы -- убедиться в том факте, что плоские модули, возникающие в контексте предыдущего абзаца, являются относительно несложно устроенными, в гомологическом смысле, плоскими модулями. Намного проще произвольных плоских модулей над коммутативными кольцами. Следить за этим фактом и пользоваться им.

Второй подход состоял в том, чтобы смириться с необходимостью, в конечном итоге, иметь дело с произвольными плоскими модулями вместо проективных. Первый подход стал называться "локально контраприспособленные контрагерентные копучки", а второй -- "контрагерентные копучки локально кокручения".

***

Вершиной первого подхода стала очень плоская гипотеза, сформулированная в начале 2014 года в Москве и доказанная летом 2017 в Праге и Хайфе. Вершиной второго подхода по состоянию на сегодняшний день представляются теоремы периодичности в гомологической алгебре.

Как я дошел до жизни такой - 3

Таким образом, плоские модули оказались как бы в перекрестье троп, ведущих вниз от двух главных технических вершин моей деятельности периода, предшествовавшего эмиграции -- полубесконечной гомологической алгебры и контрагерентных копучков. Неудивительно, что когда в 2015-16 годах настала пора спускаться из-под облаков ближе к населенным долинам, я стал писать про плоские модули.

И тогда два рукава теории контрагерентных копучков нашли свое продолжение в виде двух рукавов теории плоских модулей.

С одной стороны, можно подбирать какие-то классы "хороших плоских модулей", особенно просто устроенных и удобных для использования. В таком контексте, надо доказывать, что те или иные плоские модули, возникающие где-то каким-то образом -- или, при каких-то ограничительных предположениях, все плоские модули -- достаточно хороши.

Так я стал писать про сильно плоские модули, очень плоские модули, вполне плоские модули... про плоские эпиморфизмы колец счетного типа, про плоские эпиморфизмы колец относительной размерности Крулля ноль...

С другой стороны, можно пытаться продемонстрировать, что в сущности, даже совершенно произвольные плоские модули не так уж и далеко ушли от проективных. Да, вне узких рамок нетеровых коммутативных колец конечной размерности Крулля -- которые, конечно, типичный коммутативный алгебраист или алгебраический геометр считает, наоборот, широченными и включающими весь предмет -- вне этих рамок плоские модули не обязаны иметь конечную проективную размерность.

Но, говорит нам второй рукав теории, не в конечности гомологической размерности счастье. Надо пользоваться копроизводными и контрапроизводными категориями в смысле Беккера. Надо пользоваться теоремами периодичности.

В конце концов, что такое плоские модули? Это всего лишь прямые пределы проективных. Прямые пределы, говорит нам второй рукав теории -- не такая уж и сложная штука. Если знать, с какой стороны к ним подойти.

Так я стал писать про fp-проективную периодичность, про периодичность кокручения, про обобщенные теоремы периодичности, про плоскую/проективную периодичность...