Как я дошел до жизни такой - 1
Feb. 20th, 2023 12:26 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПо состоянию на 2007-09 годы, основным объектом моего интереса была ситуация с двумя группами переменных. Иногда с тремя группами переменных. Проще всего представить себе кольцо с подкольцом -- скажем, кольцо многочленов от двух групп переменных, в нем подкольцо многочленов от первой группы переменных, переменные из второй группы в подкольцо не входят.
Здесь "две группы переменных" -- это упрощающая метафора, конечно. Можно говорить о произвольном кольце с подкольцом, скажем, потребовав, чтобы объемлющее кольцо было проективным модулем над подкольцом с обеих сторон или что-то в этом роде. Но и это упрощение. На самом деле, меня интересовали "алгебры над коалгебрами" и "коалгебры над алгебрами" -- если продолжать пользоваться метафорой, то можно говорить о том, что это ассоциативные алгебраические структуры, в которых разделение "переменных" на две группы не выбрано произвольно, но изначально зашито в саму структуру, в ее аксиомы.
В этом контексте меня интересовали, в частности, модули (комодули, полумодули...), "проективные по части переменных в кольце" или "инъективные по части переменных в кольце". Скажем, проективные по первой группе переменных, а по второй -- произвольные. Или проективные по первой группе переменных, а по второй -- инъективные.
Это называется полубесконечная гомологическая алгебра. Называется она так потому, что там потом рассматриваются двусторонние производные функторы -- смеси левого производного функтора по одной группе переменных и правого производного функтора по другой. Это такие последовательности абелевых групп или векторных пространств (ко)гомологий, обычно бесконечномерных, занумерованные не натуральными, как в классических теориях гомологий и когомологий, а всеми целыми числами.
***
Одна из мыслей, крутившихся в моей голове все эти годы, состояла в том, что можно пользоваться и другой упрощающей метафорой -- говорить не о "модулях, проективных по части переменных", а вообще об "отчасти проективных модулях", модулях каких-то более широких классов, включающих проективные модули. Очевидным важнейшим примером таких обобщенно-проективных модулей мне виделись, конечно, плоские модули. Я думал о том, что распространяя полубесконечную деятельность на смежные области гомологической алгебры, я когда-нибудь в будущем буду что-то делать с плоскими модулями.
Здесь "две группы переменных" -- это упрощающая метафора, конечно. Можно говорить о произвольном кольце с подкольцом, скажем, потребовав, чтобы объемлющее кольцо было проективным модулем над подкольцом с обеих сторон или что-то в этом роде. Но и это упрощение. На самом деле, меня интересовали "алгебры над коалгебрами" и "коалгебры над алгебрами" -- если продолжать пользоваться метафорой, то можно говорить о том, что это ассоциативные алгебраические структуры, в которых разделение "переменных" на две группы не выбрано произвольно, но изначально зашито в саму структуру, в ее аксиомы.
В этом контексте меня интересовали, в частности, модули (комодули, полумодули...), "проективные по части переменных в кольце" или "инъективные по части переменных в кольце". Скажем, проективные по первой группе переменных, а по второй -- произвольные. Или проективные по первой группе переменных, а по второй -- инъективные.
Это называется полубесконечная гомологическая алгебра. Называется она так потому, что там потом рассматриваются двусторонние производные функторы -- смеси левого производного функтора по одной группе переменных и правого производного функтора по другой. Это такие последовательности абелевых групп или векторных пространств (ко)гомологий, обычно бесконечномерных, занумерованные не натуральными, как в классических теориях гомологий и когомологий, а всеми целыми числами.
***
Одна из мыслей, крутившихся в моей голове все эти годы, состояла в том, что можно пользоваться и другой упрощающей метафорой -- говорить не о "модулях, проективных по части переменных", а вообще об "отчасти проективных модулях", модулях каких-то более широких классов, включающих проективные модули. Очевидным важнейшим примером таких обобщенно-проективных модулей мне виделись, конечно, плоские модули. Я думал о том, что распространяя полубесконечную деятельность на смежные области гомологической алгебры, я когда-нибудь в будущем буду что-то делать с плоскими модулями.
