Производные расширения скаляров в CDG-модулях

Пусть f: A → B -- морфизм CDG-колец. Тогда DG-функтор ограничения скаляров R_f: B-mod → A-mod индуцирует триангулированные функторы между ко- и контрапроизводными категориями CDG-модулей I^coR_f: D^co(B-mod) → D^co(A-mod) и I^ctrR_f: D^ctr(B-mod) → D^ctr(A-mod).

Когда существуют функторы, сопряженные слева или справа к I^coR_f и I^ctrR_f ? На уровне DG-категорий или гомотопических категорий CDG-модулей, существуют оба функтора. Функтор расширения скаляров E_f, сопряженный слева к функтору R_f, сопоставляет CDG-модулю M над CDG-кольцом A CDG-модуль B ⊗_A M над CDG-кольцом B. Функтор корасширения скаляров E^f, сопряженный справа к функтору R_f, сопоставляет CDG-модулю M над CDG-кольцом A CDG-модуль Hom_A(B,M) над CDG-кольцом B. Вопрос состоит, таким образом, в том, при каких условиях функторы расширения и/или корасширения скаляров имеют производные функторы, действующие между ко- или контрапроизводными категориями CDG-модулей над A и B.

Чтобы построить контрапроизводный функтор расширения скаляров L^ctrE_f: D^ctr(A-mod) → D^ctr(B-mod), достаточно отождествить контрапроизводную категорию D^ctr(A-mod) с гомотопической категорией градуированно-проективных CDG-модулей H⁰(A-mod_proj) и ограничить функтор E_f с H⁰(A-mod) на H⁰(A-mod_proj). Таким образом, левый контрапроизводный функтор расширения скаляров L^ctrE_f существует всегда, когда контрапроизводная категория CDG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории градуированно-проективных CDG-модулей (если пользоваться моим определением контрапроизводной категории) или вообще всегда (если пользоваться определением Х.Б.)

Чтобы построить контрапроизводный функтор корасширения скаляров R^ctrE^f: D^ctr(A-mod) → D^ctr(B-mod), предположим, что градуированное кольцо B является проективным градуированным левым A-модулем. Тогда, как очевидно, функтор непроизводного корасширения скаляров E^f переводит контраацикличные CDG-модули над A (как в смысле моего определения, так и в смысле определения Х.Б.) в контраацикличные CDG-модули над B, так что имеется индуцированный триангулированный функтор, который, наверное, правильнее было бы обозначить через I^ctrE^f: D^ctr(A-mod) → D^ctr(B-mod).

Аналогично, чтобы построить копроизводный функтор корасширения скаляров R^coE^f: D^co(A-mod) → D^co(B-mod), достаточно отождествить копроизводную категорию D^co(A-mod) с гомотопической категорией градуированно-инъективных CDG-модулей H⁰(A-mod_inj) и ограничить функтор E^f с H⁰(A-mod) на H⁰(A-mod_inj). Таким образом, правый копроизводный функтор корасширения скаляров R^coE^f существует всегда, когда копроизводная категория CDG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории градуированно-инъективных CDG-модулей (если пользоваться моим определением копроизводной категории) или вообще всегда (если пользоваться определением Х.Б.)

Чтобы построить копроизводный функтор расширения скаляров L^coE_f: D^co(A-mod) → D^co(B-mod), предположим, что градуированное кольцо B является плоскиым градуированным правым A-модулем. Тогда функтор непроизводного расширения скаляров E_f переводит коацикличные CDG-модули над A (как в смысле моего определения, так и в смысле определения Х.Б.) в коацикличные CDG-модули над B, так что имеется индуцированный триангулированный функтор, который, наверное, правильнее было бы обозначить через I^coE_f: D^co(A-mod) → D^co(B-mod).

Ко/контраэквивалентности топологических CDG-колец и лежандровы узлы

Статья Lenhard Ng "Rational Symplectic Field Theory for Legendrian knots" http://www.math.duke.edu/~ng/math/papers/lsft.pdf , которую я давно собирался почитать (редкий пример хоть какой-то пользы от существования "престижных журналов" -- позволяют выделить заслуживающие отдельного внимания элементы в общем потоке работ, на меня ссылающихся -- вообще у меня была уже несколько месяцев назад идея просмотреть геометрические работы, использующие понятия CDG-кольца и т.п., и естественно было начать со статьи в Инвенционес (диссертацию Х.Б. я тоже полистал, кстати, она тоже про узлы, но другие и по-другому)) -- оказалась на удивление в тему моим нынешним размышлениям.

Нг строит по лежандрову (касательному к стандартной контактной структуре) узлу в трехмерном пространстве (с точностью до эквивалентности, чуть более тонкой и, вероятно, менее интересной, чем лежандрова изотопия, но это технический недостаток, возможно, поправимый) -- топологическое CDG-кольцо, являющееся на самом деле конечно-порожденной свободной алгеброй над кольцом целых чисел, пополненной в адической топологии двустороннего идеала, порожденного частью образующих свободной алгебры, рассматриваемой как фильтрованное кольцо в адической фильтрации этого идеала и снабженной CDG-структурой с элементами кривизны и замены связности, лежащими в первой компоненте фильтрации. Эквивалентным преобразованиям лежандровых узлов соответствуют явные комбинаторные преобразования CDG-колец, сводящиеся, по существу, к заменам образующих/координат в пополненных свободных алгебрах, заменам связностей и преобразованиям "стабилизации" и обратной "дестабилизации", подобным описанному в предпредыдущем постинге http://posic.livejournal.com/1207673.html .

Определив связанную с узлом CDG-алгебру, Нг оказывается перед вопросом, как построить по ней какой-то "ощутимый руками" гомологический инвариант, и предлагает перейти к циклическому факторпространству или коммутативной факторалгебре, на которых квадрат дифференциала уже зануляется, так что можно брать когомологии. Логично было попробовать связать с CDG-алгеброй производную категорию второго рода CDG-модулей над ней (или даже смешанную, первого рода по непополняемым образующим и второго рода по пополняемым, раз уж есть условие, что по модулю пополняемых образующих кривизна зануляется), и далее какие-нибудь гомологии или когомологии Хохшильда (первого рода DG-категории, или второго рода самой CDG-алгебры, и т.д.), но это, конечно, слишком сложная гомологическая алгебра для такой работы. В этом контексте, прежде всего возникают вопросы о неизменности этих инвариантов (триангулированных/DG-категорий, (ко)гомологий Хохшильда) при рассматриваемых комбинаторных преобразованиях CDG-алгебр.

Ко- и контраэквивалентности (топологических) CDG-колец - 4

В отсутствие по-настоящему эффективных подходов к получению ко- и контраэквивалентностей, похоже, что имеющиеся достаточные условия для таких эквивалентностей классифицируются по способу их доказательства на три очевидные категории. Чтобы доказать, что морфизм CDG-колец f: A → B является коэквивалентностью, можно (см. обозначения в постинге http://posic.livejournal.com/1208024.html )

а^co) проверить, что существует копроизводный функтор расширения скаляров L^coE_f или I^coE_f, и обе композиции его с функтором I^coR_f изоморфны тождественным функторам; или

б^co) проверить, что обе композции копроизводного функтора корасширения скаляров R^coE^f с функтором I^coR_f изоморфны тождественным функторам; или

в^co) проверить, что функтор ограничения скаляров I^coR_f вполне строгий и его образ порождает категорию в таргете.

Соответственно, чтобы доказать, что морфизм CDG-колец f является контраэквивалентностью, можно

а^ctr) проверить, что существует контрапроизводный функтор корасширения скаляров R^ctrE^f или I^ctrE^f, и обе композиции его с функтором I^ctrR_f изоморфны тождественным функторам; или

б^ctr) проверить, что обе композции контрапроизводного функтора расширения скаляров L^ctrE_f с функтором I^ctrR_f изоморфны тождественным функторам.

Перечисление в обоих случаях примерно в порядке увеличения, так сказать, мощности и сложности соответствующих достаточных условий, и в особенности, ослабления требований плоскости/проективности морфизма f, которые в них используются. Вариант в^ctr) не упоминается, поскольку мне, кажется, не удавалось понять, как он мог бы работать.

Аргумент, который я начал записывать в постинге http://posic.livejournal.com/1202905.html -- это в^co). Аргументы б) похожи на в) в том, что там и там используется (про)нетеровость/(про)артиновость и убывающие фильтрации на CDG-кольце, но отличается в том, что б) похож на теорему 4.8 из Two kinds of derived categories..., а в^co) использует подход, разработанный первоначально по недоразумению для сюжета про некоммутативную теорию гомотопий из статьи про капиодинность и квазиформальность, а теперь включенный в виде раздела 1 в отрывок текста про ко- и контраэквивалентности http://positselski.narod.ru/equi-sec.pdf .

О существовании аргументов а) (в которых не используются в явном виде никакие фильтрации на CDG-кольцах) я догадался в последние пару дней, размышляя над тем, как можно было бы доказать, что "стабилизация Нг" (по непополняемым образующим) в смысле http://posic.livejournal.com/1207673.html приводит к ко/контраэквивалентному CDG-кольцу.