Ко- и контраэквивалентности (топологических) CDG-колец - 5

Достаточные условия ко- и контраэквивалентности, основанные на подходах а^co) и а^ctr), имеют, как представляется, следующий вид. Пусть, как обычно, f: A → B -- морфизм CDG-колец.

Теорема. а^co) Предположим, что градуированное кольцо B является плоским правым градуированным A-модулем, конус морфизма CDG-бимодулей A → B коацикличен в классе плоских справа CDG-бимодулей над A, а конус морфизма CDG-бимодулей B⊗_AB → B коацикличен в классе плоских справа CDG-бимодулей над B. Тогда морфизм f является левой коэквивалентностью CDG-колец.

а^ctr) Предположим, что градуированное кольцо B является проективным градуированным левым A-модулем, конус морфизма CDG-бимодулей A → B коацикличен в классе проективных слева CDG-бимодулей над A, а конус морфизма CDG-бимодулей B⊗_AB → B коацикличен в классе проективных слева CDG-бимодулей над B. Тогда морфизм f является левой контраэквивалентностью CDG-колец.

Распространение этих результатов на топологические CDG-кольца предполагает, видимо, замену CDG-бимодулей на CDG-биконтрамодули, их коацикличности на абсолютную ацикличность, плоскости на контраплоскость, и т.д. Можно надеяться доказать таким образом, что "стабилизации по непополняемым переменным q" в том виде, как они используются у Нг, являются ко- и контраэквивалентностями топологических CDG-колец.

При этом доказательство того, что ко- и контраэквивалентностями являются "стабилизации по пополняемым переменным p" может быть, как представляется, основано на достаточных условиях типа б) или в) (а может быть, также и на условиях типа а), на выбор).