![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicСтатья Lenhard Ng "Rational Symplectic Field Theory for Legendrian knots" http://www.math.duke.edu/~ng/math/papers/lsft.pdf , которую я давно собирался почитать (редкий пример хоть какой-то пользы от существования "престижных журналов" -- позволяют выделить заслуживающие отдельного внимания элементы в общем потоке работ, на меня ссылающихся -- вообще у меня была уже несколько месяцев назад идея просмотреть геометрические работы, использующие понятия CDG-кольца и т.п., и естественно было начать со статьи в Инвенционес (диссертацию Х.Б. я тоже полистал, кстати, она тоже про узлы, но другие и по-другому)) -- оказалась на удивление в тему моим нынешним размышлениям.
Нг строит по лежандрову (касательному к стандартной контактной структуре) узлу в трехмерном пространстве (с точностью до эквивалентности, чуть более тонкой и, вероятно, менее интересной, чем лежандрова изотопия, но это технический недостаток, возможно, поправимый) -- топологическое CDG-кольцо, являющееся на самом деле конечно-порожденной свободной алгеброй над кольцом целых чисел, пополненной в адической топологии двустороннего идеала, порожденного частью образующих свободной алгебры, рассматриваемой как фильтрованное кольцо в адической фильтрации этого идеала и снабженной CDG-структурой с элементами кривизны и замены связности, лежащими в первой компоненте фильтрации. Эквивалентным преобразованиям лежандровых узлов соответствуют явные комбинаторные преобразования CDG-колец, сводящиеся, по существу, к заменам образующих/координат в пополненных свободных алгебрах, заменам связностей и преобразованиям "стабилизации" и обратной "дестабилизации", подобным описанному в предпредыдущем постинге http://posic.livejournal.com/1207673.html .
Определив связанную с узлом CDG-алгебру, Нг оказывается перед вопросом, как построить по ней какой-то "ощутимый руками" гомологический инвариант, и предлагает перейти к циклическому факторпространству или коммутативной факторалгебре, на которых квадрат дифференциала уже зануляется, так что можно брать когомологии. Логично было попробовать связать с CDG-алгеброй производную категорию второго рода CDG-модулей над ней (или даже смешанную, первого рода по непополняемым образующим и второго рода по пополняемым, раз уж есть условие, что по модулю пополняемых образующих кривизна зануляется), и далее какие-нибудь гомологии или когомологии Хохшильда (первого рода DG-категории, или второго рода самой CDG-алгебры, и т.д.), но это, конечно, слишком сложная гомологическая алгебра для такой работы. В этом контексте, прежде всего возникают вопросы о неизменности этих инвариантов (триангулированных/DG-категорий, (ко)гомологий Хохшильда) при рассматриваемых комбинаторных преобразованиях CDG-алгебр.
Нг строит по лежандрову (касательному к стандартной контактной структуре) узлу в трехмерном пространстве (с точностью до эквивалентности, чуть более тонкой и, вероятно, менее интересной, чем лежандрова изотопия, но это технический недостаток, возможно, поправимый) -- топологическое CDG-кольцо, являющееся на самом деле конечно-порожденной свободной алгеброй над кольцом целых чисел, пополненной в адической топологии двустороннего идеала, порожденного частью образующих свободной алгебры, рассматриваемой как фильтрованное кольцо в адической фильтрации этого идеала и снабженной CDG-структурой с элементами кривизны и замены связности, лежащими в первой компоненте фильтрации. Эквивалентным преобразованиям лежандровых узлов соответствуют явные комбинаторные преобразования CDG-колец, сводящиеся, по существу, к заменам образующих/координат в пополненных свободных алгебрах, заменам связностей и преобразованиям "стабилизации" и обратной "дестабилизации", подобным описанному в предпредыдущем постинге http://posic.livejournal.com/1207673.html .
Определив связанную с узлом CDG-алгебру, Нг оказывается перед вопросом, как построить по ней какой-то "ощутимый руками" гомологический инвариант, и предлагает перейти к циклическому факторпространству или коммутативной факторалгебре, на которых квадрат дифференциала уже зануляется, так что можно брать когомологии. Логично было попробовать связать с CDG-алгеброй производную категорию второго рода CDG-модулей над ней (или даже смешанную, первого рода по непополняемым образующим и второго рода по пополняемым, раз уж есть условие, что по модулю пополняемых образующих кривизна зануляется), и далее какие-нибудь гомологии или когомологии Хохшильда (первого рода DG-категории, или второго рода самой CDG-алгебры, и т.д.), но это, конечно, слишком сложная гомологическая алгебра для такой работы. В этом контексте, прежде всего возникают вопросы о неизменности этих инвариантов (триангулированных/DG-категорий, (ко)гомологий Хохшильда) при рассматриваемых комбинаторных преобразованиях CDG-алгебр.
