Наряду с аналогом "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна, обсуждавшимся в предыдущих постингах, хотелось бы иметь также аналог "конечно-конечно-конечной" последовательности в общей ситуации редукции точных категорий. Для простоты, мы ограничимся здесь редукциями по эндоморфизмам тождественного функтора.
Пусть F -- точная категория, и пусть σ, τ: Id
F → Id
F -- два естественных преобразования, бьющих из тождественного эндофунктора на категории F в него самого. Другими словами, для всех объектов X ∈ F заданы эндоморфизмы σ
X, τ
X: X → X, образующие коммутативные диаграммы со всеми морфизмами X → Y в категории F.
Предположим, что для каждого трех естественных преобразований σ, τ, στ: Id
F → Id
F существуют дополнительные данные ("консервативные точные функторы" в подходящие базовые точные категории), с помощью которых можно определить редуцированные точные категории G
σ = F/σ, G
τ = F/τ, G
στ = F/στ. (Будем предполагать, опять же для простоты, во всех трех случаях, что функторы подкрутки на базовых категориях тоже тождественные.)
Обозначим функторы редукции через g
σ: F → G
σ и аналогично для τ и στ. Утверждается, что в этих условиях для любых двух объектов X,Y ∈ F имеется естественная длинная точная последовательность
Ext
Gτn(g
τ(X),g
τ(Y)) → Ext
Gστn(g
στ(X),g
στ(Y)) → Ext
Gσn(g
σ(X),g
σ(Y)) → Ext
Gτn+1(g
τ(X),g
τ(Y)) →
Строится эта точная последовательность следующим образом. Вторая стрелка Ext
Gστn(g
στ(X),g
στ(Y)) → Ext
Gσn(g
σ(X),g
σ(Y))
индуцирована естественным точным функтором Gστ → Gσ, существующим постольку, поскольку всякий функтор, аннулирующий σ, аннулирует также и στ (и в предположении, что консервативный точный функтор F → Eσ, с помощью которого строится точная категория Gσ, раскладывается в композицию консервативного точного функтора F → Eστ, с помощью которого строится точная категория Gστ, и какого-то точного функтора Eστ → Eσ) (зачеркнутое неверно; как строить вторую стрелку, объясняется в следующем постинге).
Граничное отображение ("гомоморфизм Бокштейна") Ext
Gσn(g
σ(X),g
σ(Y)) → Ext
Gτn+1(g
τ(X),g
τ(Y)) есть композиция граничного отображения Ext
Gσn(g
σ(X),g
σ(Y)) → Ext
Fn+1(X,Y) и отображения Ext
Fn+1(X,Y) → Ext
Gτn+1(g
τ(X),g
τ(Y)), индуцированного функтором g
τ. Что касается первой стрелки Ext
Gτn(g
τ(X),g
τ(Y)) → Ext
Gστn(g
στ(X),g
στ(Y)), то она строится аналогично тому, как (но проще, чем) строится в разделе 4.5 статьи Mixed Artin-Tate motives... (вышеупомянутое) граничное отображение в "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна.
Конструкция основана на лемме 4.5 из раздела 4.4 той же статьи, согласно которой "большое градуированное кольцо" Ext
Gτ*(g
τ(X),g
τ(Y))
X,Y∈F индуцировано со своей нулевой градуировочной компоненты как (левый или правый) "большой градуированный модуль" над большим градуированным кольцом Ext
F*(X,Y)
X,Y∈F (в смысле, с нулевой градуировочной компоненты как модуля над нулевой градуировочной компонентной последнего большого кольца). Поэтому достаточно построить искомое отображение на классах Ext степени 0 и проверить необходимые согласования.
Пусть имеется морфизм g
τ(X) → g
τ(Y) в категории G
τ. Тогда можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории F,
образующие коммутативный квадрат в категории F, образы которых при функторе g
τ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории G
τ. Квадрат из морфизмов в категории F коммутативен по модулю идеала морфизмов, делящихся на τ. Заменяя обе стрелки X' → Y и X → Y' на их композиции с эндоморфизмами σ (все равно, какой из вершин, т.к. естественное преобразование), получаем новый
коммутативный квадрат из морфизмов с теми же вершинами в категории F, коммутативный по модулю идеала морфизмов, делящихся на στ.
Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C делятся на τ, если подразумеваются исходные морфизмы X' → Y и X → Y' (поскольку они аннулируются функтором g
τ), и, следовательно, на στ, eсли новые. Ввиду последнего, коммутативный (согласно предыдущему абзацу) образ нового квадрата при функторе g
στ можно (единственным образом) дополнить стрелкой g
στ(X) → g
στ(Y) так, чтобы коммутативность сохранилась. Искомое отображение на классах Ext степени 0 построено.
Согласованность с умножениями на морфизмы, приходящие из F, сразу следует из этих построений, так что отображение можно продолжить на классы Ext всех степеней. Остается показать, что "левая" и "правая" конструкции искомого отображения дают одинаковый результат. Достаточно проверить это для классов Ext степени 1, что делается с помощью чуть более простой версии того же рассуждения, которым доказывается аналогичное утверждение в разделе 4.5 все той же статьи. Вместо квадрата 3x3 из коротких точных последовательностей, который строится в разделе 4.5, надо будет просто построить морфизм коротких точных последовательностей, выражающий искомое равенство левой и правой композиций морфизмов с классами Ext^1.
Из сравнения конструкции выше с конструкцией "цело-цело-конечного" отображения Бокштейна в том же разделе 4.5 ясно, что композиция построенного отображения Ext
Gτn(g
τ(X),g
τ(Y)) → Ext
Gστn(g
στ(X),g
στ(Y)) с граничным отображением Ext
Gστn(g
στ(X),g
στ(Y)) → Ext
Fn+1(X,Y) равна граничному отображению Ext
Gτn(g
τ(X),g
τ(Y)) → Ext
Fn+1(X,Y). Теперь нетрудно убедиться, что описанная в постинге
http://posic.livejournal.com/994724.html диаграмма, составленная из групп Ext между образами объектов X, Y ∈ F в категориях F, G
σ, G
τ, G
στ коммутативна, так что точность искомой "конечно-конечно-конечной" последовательности Бокштейна следует из точности "цело-цело-конечных" последовательностей Б. ввиду аргумента с диаграммным поиском, о котором говорится в том постинге.