Последовательность Бокштейна цело-цело-конечная и конечно-конечно-конечная

Нарисовал коммутативную диаграмму, на которой методом диаграммного поиска можно вывести из точных последовательностей Бокштейна для целых и конечных коэффициентов

Hⁱ⁻¹(X,Z/m) → Hⁱ(X,Z) → Hⁱ(X,Z) → Hⁱ(X,Z/m) → Hⁱ⁺¹(X,Z) → Hⁱ⁺¹(X,Z)

Hⁱ(X,Z) → Hⁱ(X,Z) → Hⁱ(X,Z/n) → Hⁱ⁺¹(X,Z) → Hⁱ⁺¹(X,Z) → Hⁱ⁺¹(X,Z/n)

Hⁱ(X,Z) → Hⁱ(X,Z) → Hⁱ(X,Z/mn) → Hⁱ⁺¹(X,Z) → Hⁱ⁺¹(X,Z)

точную последовательность Бокштейна для одних только конечных коэффициентов

Hⁱ⁻¹(X,Z/m) → Hⁱ(X,Z/n) → Hⁱ(X,Z/mn) → Hⁱ(X,Z/m) → Hⁱ⁺¹(X,Z/n).

Диаграмма содержит 11 вершин и 18 стрелок, идущих вниз, вправо и в трех диагональных направлениях. Последние две (пятичленные) последовательности в перечне выше образуют крестообразную диаграмму с общей центральной вершиной, а первые две (шестичленные) последовательности пронзают и опоясывают ее с двух сторон. Не встречалось такое кому-нибудь где-нибудь?

Еще о редукции точных категорий

Продолжение постингов http://posic.livejournal.com/992481.html и http://posic.livejournal.com/993037.html

Заметим, что хотя точная категория E и точный функтор p: F → E использовались при построении редуцированной точной категории F/σ, результат процедуры редукции "почти не зависит" от этих входных данных (если они существуют).

Точнее сказать, пусть σ: Id_F → (1) -- естественное преобразование, по которому мы хотим редуцировать категорию E, и пусть p': F → E' и p'': F → E'' -- два точных функтора, удовлетворяющих условиям по ссылке, которые можно для этой цели использовать. Пусть E -- декартово произведение точных категорий E' и E'', и p: F → E -- естественный точный функтор. Функтор p удовлетворяет тем же условиям из постинга по ссылке.

Теперь если G', G'' и G -- соответствующие версии редуцированной точной категории F/σ, построенные с помощью точных функторов p', p'' и p, то имеются естественные точные функторы G → G' и G → G'', коммутирующие с функторами g', g'' и g из точной категории F. Из длинной точной последовательности Бокштейна следует, что функторы G → G' и G → G'' индуцируют изоморфизмы групп Ext между объектами, приходящими из F. Ввиду леммы 3.2 из статьи Mixed Artin-Tate motives..., отсюда следует, что наши функторы G → G' и G → G'' ограничиваются до эквивалентностей точных категорий между минимальными подкатегориями, содержащими образы функторов из F и замкнутыми относительно расширений.

Поскольку, по построению, всякий объект любой из редуцированных категорий допускает, к тому же, левую и правую резольвенту из объектов, приходящих из F, из сказанного следует также, что наши функторы G → G' и G → G'' вполне строги и индуцируют изоморфизмы всех групп Ext.

Еще о редукции точных категорий - 2

Наряду с аналогом "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна, обсуждавшимся в предыдущих постингах, хотелось бы иметь также аналог "конечно-конечно-конечной" последовательности в общей ситуации редукции точных категорий. Для простоты, мы ограничимся здесь редукциями по эндоморфизмам тождественного функтора.

Пусть F -- точная категория, и пусть σ, τ: Id_F → Id_F -- два естественных преобразования, бьющих из тождественного эндофунктора на категории F в него самого. Другими словами, для всех объектов X ∈ F заданы эндоморфизмы σ_X, τ_X: X → X, образующие коммутативные диаграммы со всеми морфизмами X → Y в категории F.

Предположим, что для каждого трех естественных преобразований σ, τ, στ: Id_F → Id_F существуют дополнительные данные ("консервативные точные функторы" в подходящие базовые точные категории), с помощью которых можно определить редуцированные точные категории G_σ = F/σ, G_τ = F/τ, G_στ = F/στ. (Будем предполагать, опять же для простоты, во всех трех случаях, что функторы подкрутки на базовых категориях тоже тождественные.)

Обозначим функторы редукции через g_σ: F → G_σ и аналогично для τ и στ. Утверждается, что в этих условиях для любых двух объектов X,Y ∈ F имеется естественная длинная точная последовательность

Ext_Gτⁿ(g_τ(X),g_τ(Y)) → Ext_Gστⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)) → Ext_Gσⁿ(g_σ(X),g_σ(Y)) → Ext_Gτⁿ⁺¹(g_τ(X),g_τ(Y)) →

Строится эта точная последовательность следующим образом. Вторая стрелка Ext_Gστⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)) → Ext_Gσⁿ(g_σ(X),g_σ(Y)) индуцирована естественным точным функтором G_στ → G_σ, существующим постольку, поскольку всякий функтор, аннулирующий σ, аннулирует также и στ (и в предположении, что консервативный точный функтор F → E_σ, с помощью которого строится точная категория G_σ, раскладывается в композицию консервативного точного функтора F → E_στ, с помощью которого строится точная категория G_στ, и какого-то точного функтора E_στ → E_σ) (зачеркнутое неверно; как строить вторую стрелку, объясняется в следующем постинге).

Граничное отображение ("гомоморфизм Бокштейна") Ext_Gσⁿ(g_σ(X),g_σ(Y)) → Ext_Gτⁿ⁺¹(g_τ(X),g_τ(Y)) есть композиция граничного отображения Ext_Gσⁿ(g_σ(X),g_σ(Y)) → Ext_Fⁿ⁺¹(X,Y) и отображения Ext_Fⁿ⁺¹(X,Y) → Ext_Gτⁿ⁺¹(g_τ(X),g_τ(Y)), индуцированного функтором g_τ. Что касается первой стрелки Ext_Gτⁿ(g_τ(X),g_τ(Y)) → Ext_Gστⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)), то она строится аналогично тому, как (но проще, чем) строится в разделе 4.5 статьи Mixed Artin-Tate motives... (вышеупомянутое) граничное отображение в "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна.

Конструкция основана на лемме 4.5 из раздела 4.4 той же статьи, согласно которой "большое градуированное кольцо" Ext_Gτ*(g_τ(X),g_τ(Y))_X,Y∈F индуцировано со своей нулевой градуировочной компоненты как (левый или правый) "большой градуированный модуль" над большим градуированным кольцом Ext_F*(X,Y)_X,Y∈F (в смысле, с нулевой градуировочной компоненты как модуля над нулевой градуировочной компонентной последнего большого кольца). Поэтому достаточно построить искомое отображение на классах Ext степени 0 и проверить необходимые согласования.

Пусть имеется морфизм g_τ(X) → g_τ(Y) в категории G_τ. Тогда можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории F, образующие коммутативный квадрат в категории F, образы которых при функторе g_τ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории G_τ. Квадрат из морфизмов в категории F коммутативен по модулю идеала морфизмов, делящихся на τ. Заменяя обе стрелки X' → Y и X → Y' на их композиции с эндоморфизмами σ (все равно, какой из вершин, т.к. естественное преобразование), получаем новый коммутативный квадрат из морфизмов с теми же вершинами в категории F, коммутативный по модулю идеала морфизмов, делящихся на στ.

Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C делятся на τ, если подразумеваются исходные морфизмы X' → Y и X → Y' (поскольку они аннулируются функтором g_τ), и, следовательно, на στ, eсли новые. Ввиду последнего, коммутативный (согласно предыдущему абзацу) образ нового квадрата при функторе g_στ можно (единственным образом) дополнить стрелкой g_στ(X) → g_στ(Y) так, чтобы коммутативность сохранилась. Искомое отображение на классах Ext степени 0 построено.

Согласованность с умножениями на морфизмы, приходящие из F, сразу следует из этих построений, так что отображение можно продолжить на классы Ext всех степеней. Остается показать, что "левая" и "правая" конструкции искомого отображения дают одинаковый результат. Достаточно проверить это для классов Ext степени 1, что делается с помощью чуть более простой версии того же рассуждения, которым доказывается аналогичное утверждение в разделе 4.5 все той же статьи. Вместо квадрата 3x3 из коротких точных последовательностей, который строится в разделе 4.5, надо будет просто построить морфизм коротких точных последовательностей, выражающий искомое равенство левой и правой композиций морфизмов с классами Ext^1.

Из сравнения конструкции выше с конструкцией "цело-цело-конечного" отображения Бокштейна в том же разделе 4.5 ясно, что композиция построенного отображения Ext_Gτⁿ(g_τ(X),g_τ(Y)) → Ext_Gστⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)) с граничным отображением Ext_Gστⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)) → Ext_Fⁿ⁺¹(X,Y) равна граничному отображению Ext_Gτⁿ(g_τ(X),g_τ(Y)) → Ext_Fⁿ⁺¹(X,Y). Теперь нетрудно убедиться, что описанная в постинге http://posic.livejournal.com/994724.html диаграмма, составленная из групп Ext между образами объектов X, Y ∈ F в категориях F, G_σ, G_τ, G_στ коммутативна, так что точность искомой "конечно-конечно-конечной" последовательности Бокштейна следует из точности "цело-цело-конечных" последовательностей Б. ввиду аргумента с диаграммным поиском, о котором говорится в том постинге.