Еще о редукции точных категорий
Sep. 5th, 2013 10:08 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение постингов http://posic.livejournal.com/992481.html и http://posic.livejournal.com/993037.html
Заметим, что хотя точная категория E и точный функтор p: F → E использовались при построении редуцированной точной категории F/σ, результат процедуры редукции "почти не зависит" от этих входных данных (если они существуют).
Точнее сказать, пусть σ: IdF → (1) -- естественное преобразование, по которому мы хотим редуцировать категорию E, и пусть p': F → E' и p'': F → E'' -- два точных функтора, удовлетворяющих условиям по ссылке, которые можно для этой цели использовать. Пусть E -- декартово произведение точных категорий E' и E'', и p: F → E -- естественный точный функтор. Функтор p удовлетворяет тем же условиям из постинга по ссылке.
Теперь если G', G'' и G -- соответствующие версии редуцированной точной категории F/σ, построенные с помощью точных функторов p', p'' и p, то имеются естественные точные функторы G → G' и G → G'', коммутирующие с функторами g', g'' и g из точной категории F. Из длинной точной последовательности Бокштейна следует, что функторы G → G' и G → G'' индуцируют изоморфизмы групп Ext между объектами, приходящими из F. Ввиду леммы 3.2 из статьи Mixed Artin-Tate motives..., отсюда следует, что наши функторы G → G' и G → G'' ограничиваются до эквивалентностей точных категорий между минимальными подкатегориями, содержащими образы функторов из F и замкнутыми относительно расширений.
Поскольку, по построению, всякий объект любой из редуцированных категорий допускает, к тому же, левую и правую резольвенту из объектов, приходящих из F, из сказанного следует также, что наши функторы G → G' и G → G'' вполне строги и индуцируют изоморфизмы всех групп Ext.
Заметим, что хотя точная категория E и точный функтор p: F → E использовались при построении редуцированной точной категории F/σ, результат процедуры редукции "почти не зависит" от этих входных данных (если они существуют).
Точнее сказать, пусть σ: IdF → (1) -- естественное преобразование, по которому мы хотим редуцировать категорию E, и пусть p': F → E' и p'': F → E'' -- два точных функтора, удовлетворяющих условиям по ссылке, которые можно для этой цели использовать. Пусть E -- декартово произведение точных категорий E' и E'', и p: F → E -- естественный точный функтор. Функтор p удовлетворяет тем же условиям из постинга по ссылке.
Теперь если G', G'' и G -- соответствующие версии редуцированной точной категории F/σ, построенные с помощью точных функторов p', p'' и p, то имеются естественные точные функторы G → G' и G → G'', коммутирующие с функторами g', g'' и g из точной категории F. Из длинной точной последовательности Бокштейна следует, что функторы G → G' и G → G'' индуцируют изоморфизмы групп Ext между объектами, приходящими из F. Ввиду леммы 3.2 из статьи Mixed Artin-Tate motives..., отсюда следует, что наши функторы G → G' и G → G'' ограничиваются до эквивалентностей точных категорий между минимальными подкатегориями, содержащими образы функторов из F и замкнутыми относительно расширений.
Поскольку, по построению, всякий объект любой из редуцированных категорий допускает, к тому же, левую и правую резольвенту из объектов, приходящих из F, из сказанного следует также, что наши функторы G → G' и G → G'' вполне строги и индуцируют изоморфизмы всех групп Ext.
