"Матричные факторизации" и редукция точных категорий

Пусть F -- точная категория, (1): F → F -- точная автоэквивалентность ("функтор подкрутки"), σ: X → X(1) -- естественное преобразование, определенное для всех X ∈ F и удовлетворяющее обычному условию коммутации с подкруткой (σ_X(1) = σ_X(1) для всех X ∈ F). Предположим, что морфизм σ_X инъективен и сюръективен (в абстрактно-категорном смысле) для всех X ∈ F.

Пусть E -- точная категория и (1): E → E -- точная автоэквивалентность (функтор подкрутки) на E. Пусть p: F → E -- точный функтор, коммутирующий с подкрутками (1) на F и E. Предположим, что функтор p не только сохраняет, но и отражает допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности (т.е., морфизм или последовательность обладает такими свойствами в F тогда и только тогда, когда ими обладает его образ в E). Отметим, в частности, что из этих условий следует, что функтор p должен быть консервативным в абстрактно-категорном смысле (отражать изоморфизмы).

Наконец, предположим, что функтор p отображает морфизмы σ_X в нулевые морфизмы в категории E. Более того, потребуем, чтобы всякий морфизм X → Y в F, аннулируемый функтором p, факторизовался через σ_X или, что эквивалентно, через σ_Y(−1).

В этих условиях, хотелось бы построить "редуцированную" точную категорию G = F/σ со следующими свойствами. Прежде всего, на G тоже должна быть точная автоэквивалентность (1). Функтор p: F → E должен естественным образом факторизоваться через категорию G, причем оба функтора g: F → G и e: G → E должны быть точными и коммутировать с подкрутками. Далее, функтор g должен аннулировать естественное преобразование σ, а функтор e -- отражать нулевые морфизмы (т.е., не аннулировать никакие ненулевые морфизмы). Оба функтора g и e должны отражать допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности.

Наконец, главное желаемое свойство функтора g -- это существование естественной длинной точной последовательности

Ext_Fⁿ(X,Y(−1)) → Ext_Fⁿ(X,Y) → Ext_Gⁿ(g(X),g(Y)) → Ext_Fⁿ⁺¹(X,Y(−1)) →

для всех пар объектов X, Y ∈ F. Здесь первая стрелка индуцирована естественным преобразованием σ, вторая -- функтором g, а про третью -- граничное отображение -- утверждается только ее существование как морфизма функторов на F^op × F и формула Лейбница для композиции классов Ext в G между образами объектов из F.

10.09.13 -- Update: вот еще несколько полезных свойств функтора g (перечислены только по одному из каждой пары двойственных утверждений, второе утверждение в паре тоже выполняется):
- на любой объект категории G есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего по функтору g из категории F;
- через всякий допустимый эпиморфизм в G на объект, пришедший из F, можно пропустить образ допустимого эпиморфизма из F (и даже так, чтобы третья стрелка тоже была допустимым эпиморфизмом в G -- это следует из первого и последнего из этих четырех свойств);
- всякий морфизм в G из объекта, пришедшего из F, можно разложить в композицию морфизма, пришедшего из F, и допустимого эпиморфизма в G;
- ко всякому морфизму в G между объектами, пришедшими из F, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из F, так чтобы получился морфизм, пришедший из F.

"Матричные факторизации" и редукция точных категорий - 2

У меня есть два примера ситуации, описанной в предыдущем постинге. Возникают они в одной и той же науке про мотивы Артина-Тейта с конечными коэффициентами. В каком-то смысле, эти две ситуации совершенно разные; в каком-то другом -- очень похожи.

Разница в том, что в одном случае в роли естественного преобразования σ выступает невырожденный класс нулевых мотивных когомологий в весе один, а в другом -- вырожденный класс нулевых мотивных когомологий в весе ноль. В первом случае конструкция призвана осуществлять переход от фильтрованных к градуированным модулям, во втором -- производить редукцию локального кольца коэффициентов по модулю его не делящего ноль элемента.

Первый пример можно рассматривать в разной общности, но для целей сравнения со вторым примером, мы сформулируем его так. Пусть Γ -- проконечная группа, k -- коммутативное кольцо, E -- категория Γ-модулей над k, градуированных целыми числами с конечным числом ненулевых компонент, каждая из которых -- конечно-порожденный перестановочный Γ-модуль над k (т.е., конечно-порожденный свободный k-модуль, в котором Γ действует, переставляя базисные вектора). Морфизмы в E -- это просто морфизмы градуированных Γ-модулей над k; точная структура тривиальная (все точные тройки расщепимы).

Пусть F -- категория конечно фильтрованных целыми числами Γ-модулей над k, присоединенные градуированные фактормодули которых принадлежат E. Морфизмы в F -- просто морфизмы фильтрованных Γ-модулей над k; точные тройки -- это тройки с нулевой композицией, присоединенные факторы которых по фильтрации точны в E (т.е., расщепимо точны).

Функтор подкрутки (1) сдвигает фильтрацию на единицу; естественное преобразование σ_M -- это тождественное отображение между двумя копиями одного и того же Γ-модуля M, снабженными фильтрациями, отличающимися сдвигом номеров. Конструкция точной категории G = F/σ призвана уловить всю ту дополнительную структуру, которая индуцируется на присоединенном факторе фильтрованного Γ-модуля, принадлежащего категории F ("естественные однородные операторы ненулевой степени", грубо говоря). При этом важно иметь длинную точную последовательность, связывающую k-модули Ext в точных категориях F и G.

Во втором примере можно считать, для простоты, что категория F та же самая, что и в первом, только при этом k -- полное локальное кольцо. Но интереснее чуть усложнить ситуацию, предположив, что задан непрерывный мультипликативный характер χ: Γ → k*, и присоединенные факторы фильтрации на модулях из категории F -- не буквально перестановочные, а становятся таковыми после открутки действия Γ на степень χ, равную номеру градуировочной компоненты.

Функтор подкрутки (1) -- тождественный; естественное преобразование σ есть оператор умножения на фиксированный не делящий ноль элемент t из максимального идеала кольца k. Точная категория E должна быть совсем не такая, как в первом примере. Хочется использовать в ее роли категорию конечно фильтрованных k/t-модулей с конечно-порожденными свободными присоединенными факторами (можно отметить что, как и в первом примере, это аддитивная категория с тривиальной точной структурой). Функтор p -- редукция по модулю t с одновременным забыванием действия Γ.

[Update: Нет, так все-таки нельзя -- функтор, забывающий действие Γ, не может отражать точность троек в категории F. Либо брать E = F_k/t (в обозначениях ниже), либо заводить сразу две базовые точные категории, в данном случае фильтрованные k/t-модули и градуированные перестановочные Γ-модули над k/t. Или просто взять за E декартово произведение двух последних категорий (обе, кстати, с тривиальной точной структурой)?]

Конструкция точной категории G = F/σ в этом случае призвана, в идеале, выдавать заранее известную категорию, отличающуюся от F заменой кольца коэффициентов k на k/t. Цель всего построения в том, чтобы получить длинную точную последовательность, связывающую модули Ext в двух точных категориях, которые мы можем теперь обозначить через F = F_k и F_k/t.

Точнее сказать, точные категории G и F_k/t должны быть эквивалентны далеко не всегда. Длинная точная последовательность, связывающая модули Ext в категориях F_k и F_k/t, предположительно имеет место не в описанной ситуации вообще, а в очень конкретном случае, связанном с абсолютной группой Галуа и артин-тейтовскими мотивами. Для доказательства того, что естественный точный функтор G → F_k/t является эквивалентностью точных категорий, нужно использовать какие-то трудные теоремы о мотивных когомологиях. Конструкция точной категории G задумана как такой способ вывести существование искомой длинной точной последовательности из этих теорем.

"Матричные факторизации" и редукция точных категорий - 3

При чем же здесь обещанные в заголовке матричные факторизации? При том, что они используются в конструкции точной категории G. Конструкция эта состоит в следующем.

Рассматривается категория H, объектами которой являются некоторые матричные факторизации естественного преобразования σ в категории F, т.е., диаграммы вида V → U → V(1) → U(1) в F, где третье отображение получается из первого применением функтора подкрутки (1), а две композиции равны σ_V и σ_U, соответственно. Такая диаграмма принадлежит категории H, если функтор p (аннулирующий, по нашим предположениям, морфизмы σ) переводит ее в точную последовательность в точной категории E.

Процедура, преобразующая точную категорию H в искомую точную категорию G, похожа на процедуру, с помощью которой получают производную категорию из категории комплексов, переходя в два шага от категории комплексов сначала к гомотопической категории, а потом уже к производной. Категория H сначала факторизуется (в самом наивном смысле теории колец) по некоторому идеалу своих морфизмов I, а потом в факторкатегории H/I обращается некоторый локализующий класс морфизмов S (который не был локализующим в исходной категории H, до факторизации по идеалу I).

Оба класса морфизмов I и S определяются в терминах некоторого точного функтора Δ: H → E, который в свою очередь строится в терминах функтора p: F → E. Функтор Δ сопоставляет диаграмме (U,V) образ морфизма p(U) → p(V(1)) в точной категории E (который определен, поскольку последовательность p(U,V) точна). Идеал I ⊂ H состоит из всех морфизмов в H, которые функтор Δ переводит в нулевые морфизмы; локализующий класс S ⊂ H/I -- из всех морфизмов, которые функтор Δ переводит в обратимые.

Функтор подкрутки (1) на G индуцирован очевидным функтором подкрутки (U,V) → (U(1),V(1)) на H. Функтор g: F → G сопоставляет объекту X стягиваемую матричную факторизацию (U,V) = (X,X(−1)). Функтор e: G → E индуцирован функтором Δ: H → E. Тройка в G называется точной, если функтор e переводит ее в точную тройку в E.

Здесь нужно доказывать/дополнительно строить:
1. что класс S в самом деле локализующий (удовлетворяет условиям Оре) в H/I;
2. что класс точных троек в G удовлетворяет аксиомам точной категории;
3. граничный гомоморфизм в искомой длинной последовательности;
4. точность этой последовательности.

Делаться все это должно в русле рассуждений из секции 4 статьи MMJ-2011, где рассматривается первый из двух основных примеров, описанных выше. А теперь меня интересует второй пример.