![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПри чем же здесь обещанные в заголовке матричные факторизации? При том, что они используются в конструкции точной категории G. Конструкция эта состоит в следующем.
Рассматривается категория H, объектами которой являются некоторые матричные факторизации естественного преобразования σ в категории F, т.е., диаграммы вида V → U → V(1) → U(1) в F, где третье отображение получается из первого применением функтора подкрутки (1), а две композиции равны σV и σU, соответственно. Такая диаграмма принадлежит категории H, если функтор p (аннулирующий, по нашим предположениям, морфизмы σ) переводит ее в точную последовательность в точной категории E.
Процедура, преобразующая точную категорию H в искомую точную категорию G, похожа на процедуру, с помощью которой получают производную категорию из категории комплексов, переходя в два шага от категории комплексов сначала к гомотопической категории, а потом уже к производной. Категория H сначала факторизуется (в самом наивном смысле теории колец) по некоторому идеалу своих морфизмов I, а потом в факторкатегории H/I обращается некоторый локализующий класс морфизмов S (который не был локализующим в исходной категории H, до факторизации по идеалу I).
Оба класса морфизмов I и S определяются в терминах некоторого точного функтора Δ: H → E, который в свою очередь строится в терминах функтора p: F → E. Функтор Δ сопоставляет диаграмме (U,V) образ морфизма p(U) → p(V(1)) в точной категории E (который определен, поскольку последовательность p(U,V) точна). Идеал I ⊂ H состоит из всех морфизмов в H, которые функтор Δ переводит в нулевые морфизмы; локализующий класс S ⊂ H/I -- из всех морфизмов, которые функтор Δ переводит в обратимые.
Функтор подкрутки (1) на G индуцирован очевидным функтором подкрутки (U,V) → (U(1),V(1)) на H. Функтор g: F → G сопоставляет объекту X стягиваемую матричную факторизацию (U,V) = (X,X(−1)). Функтор e: G → E индуцирован функтором Δ: H → E. Тройка в G называется точной, если функтор e переводит ее в точную тройку в E.
Здесь нужно доказывать/дополнительно строить:
1. что класс S в самом деле локализующий (удовлетворяет условиям Оре) в H/I;
2. что класс точных троек в G удовлетворяет аксиомам точной категории;
3. граничный гомоморфизм в искомой длинной последовательности;
4. точность этой последовательности.
Делаться все это должно в русле рассуждений из секции 4 статьи MMJ-2011, где рассматривается первый из двух основных примеров, описанных выше. А теперь меня интересует второй пример.
Рассматривается категория H, объектами которой являются некоторые матричные факторизации естественного преобразования σ в категории F, т.е., диаграммы вида V → U → V(1) → U(1) в F, где третье отображение получается из первого применением функтора подкрутки (1), а две композиции равны σV и σU, соответственно. Такая диаграмма принадлежит категории H, если функтор p (аннулирующий, по нашим предположениям, морфизмы σ) переводит ее в точную последовательность в точной категории E.
Процедура, преобразующая точную категорию H в искомую точную категорию G, похожа на процедуру, с помощью которой получают производную категорию из категории комплексов, переходя в два шага от категории комплексов сначала к гомотопической категории, а потом уже к производной. Категория H сначала факторизуется (в самом наивном смысле теории колец) по некоторому идеалу своих морфизмов I, а потом в факторкатегории H/I обращается некоторый локализующий класс морфизмов S (который не был локализующим в исходной категории H, до факторизации по идеалу I).
Оба класса морфизмов I и S определяются в терминах некоторого точного функтора Δ: H → E, который в свою очередь строится в терминах функтора p: F → E. Функтор Δ сопоставляет диаграмме (U,V) образ морфизма p(U) → p(V(1)) в точной категории E (который определен, поскольку последовательность p(U,V) точна). Идеал I ⊂ H состоит из всех морфизмов в H, которые функтор Δ переводит в нулевые морфизмы; локализующий класс S ⊂ H/I -- из всех морфизмов, которые функтор Δ переводит в обратимые.
Функтор подкрутки (1) на G индуцирован очевидным функтором подкрутки (U,V) → (U(1),V(1)) на H. Функтор g: F → G сопоставляет объекту X стягиваемую матричную факторизацию (U,V) = (X,X(−1)). Функтор e: G → E индуцирован функтором Δ: H → E. Тройка в G называется точной, если функтор e переводит ее в точную тройку в E.
Здесь нужно доказывать/дополнительно строить:
1. что класс S в самом деле локализующий (удовлетворяет условиям Оре) в H/I;
2. что класс точных троек в G удовлетворяет аксиомам точной категории;
3. граничный гомоморфизм в искомой длинной последовательности;
4. точность этой последовательности.
Делаться все это должно в русле рассуждений из секции 4 статьи MMJ-2011, где рассматривается первый из двух основных примеров, описанных выше. А теперь меня интересует второй пример.
