![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть F -- точная категория, (1): F → F -- точная автоэквивалентность ("функтор подкрутки"), σ: X → X(1) -- естественное преобразование, определенное для всех X ∈ F и удовлетворяющее обычному условию коммутации с подкруткой (σX(1) = σX(1) для всех X ∈ F). Предположим, что морфизм σX инъективен и сюръективен (в абстрактно-категорном смысле) для всех X ∈ F.
Пусть E -- точная категория и (1): E → E -- точная автоэквивалентность (функтор подкрутки) на E. Пусть p: F → E -- точный функтор, коммутирующий с подкрутками (1) на F и E. Предположим, что функтор p не только сохраняет, но и отражает допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности (т.е., морфизм или последовательность обладает такими свойствами в F тогда и только тогда, когда ими обладает его образ в E). Отметим, в частности, что из этих условий следует, что функтор p должен быть консервативным в абстрактно-категорном смысле (отражать изоморфизмы).
Наконец, предположим, что функтор p отображает морфизмы σX в нулевые морфизмы в категории E. Более того, потребуем, чтобы всякий морфизм X → Y в F, аннулируемый функтором p, факторизовался через σX или, что эквивалентно, через σY(−1).
В этих условиях, хотелось бы построить "редуцированную" точную категорию G = F/σ со следующими свойствами. Прежде всего, на G тоже должна быть точная автоэквивалентность (1). Функтор p: F → E должен естественным образом факторизоваться через категорию G, причем оба функтора g: F → G и e: G → E должны быть точными и коммутировать с подкрутками. Далее, функтор g должен аннулировать естественное преобразование σ, а функтор e -- отражать нулевые морфизмы (т.е., не аннулировать никакие ненулевые морфизмы). Оба функтора g и e должны отражать допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности.
Наконец, главное желаемое свойство функтора g -- это существование естественной длинной точной последовательности
ExtFn(X,Y(−1)) → ExtFn(X,Y) → ExtGn(g(X),g(Y)) → ExtFn+1(X,Y(−1)) →
для всех пар объектов X, Y ∈ F. Здесь первая стрелка индуцирована естественным преобразованием σ, вторая -- функтором g, а про третью -- граничное отображение -- утверждается только ее существование как морфизма функторов на Fop × F и формула Лейбница для композиции классов Ext в G между образами объектов из F.
10.09.13 -- Update: вот еще несколько полезных свойств функтора g (перечислены только по одному из каждой пары двойственных утверждений, второе утверждение в паре тоже выполняется):
- на любой объект категории G есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего по функтору g из категории F;
- через всякий допустимый эпиморфизм в G на объект, пришедший из F, можно пропустить образ допустимого эпиморфизма из F (и даже так, чтобы третья стрелка тоже была допустимым эпиморфизмом в G -- это следует из первого и последнего из этих четырех свойств);
- всякий морфизм в G из объекта, пришедшего из F, можно разложить в композицию морфизма, пришедшего из F, и допустимого эпиморфизма в G;
- ко всякому морфизму в G между объектами, пришедшими из F, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из F, так чтобы получился морфизм, пришедший из F.
Пусть E -- точная категория и (1): E → E -- точная автоэквивалентность (функтор подкрутки) на E. Пусть p: F → E -- точный функтор, коммутирующий с подкрутками (1) на F и E. Предположим, что функтор p не только сохраняет, но и отражает допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности (т.е., морфизм или последовательность обладает такими свойствами в F тогда и только тогда, когда ими обладает его образ в E). Отметим, в частности, что из этих условий следует, что функтор p должен быть консервативным в абстрактно-категорном смысле (отражать изоморфизмы).
Наконец, предположим, что функтор p отображает морфизмы σX в нулевые морфизмы в категории E. Более того, потребуем, чтобы всякий морфизм X → Y в F, аннулируемый функтором p, факторизовался через σX или, что эквивалентно, через σY(−1).
В этих условиях, хотелось бы построить "редуцированную" точную категорию G = F/σ со следующими свойствами. Прежде всего, на G тоже должна быть точная автоэквивалентность (1). Функтор p: F → E должен естественным образом факторизоваться через категорию G, причем оба функтора g: F → G и e: G → E должны быть точными и коммутировать с подкрутками. Далее, функтор g должен аннулировать естественное преобразование σ, а функтор e -- отражать нулевые морфизмы (т.е., не аннулировать никакие ненулевые морфизмы). Оба функтора g и e должны отражать допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности.
Наконец, главное желаемое свойство функтора g -- это существование естественной длинной точной последовательности
ExtFn(X,Y(−1)) → ExtFn(X,Y) → ExtGn(g(X),g(Y)) → ExtFn+1(X,Y(−1)) →
для всех пар объектов X, Y ∈ F. Здесь первая стрелка индуцирована естественным преобразованием σ, вторая -- функтором g, а про третью -- граничное отображение -- утверждается только ее существование как морфизма функторов на Fop × F и формула Лейбница для композиции классов Ext в G между образами объектов из F.
10.09.13 -- Update: вот еще несколько полезных свойств функтора g (перечислены только по одному из каждой пары двойственных утверждений, второе утверждение в паре тоже выполняется):
- на любой объект категории G есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего по функтору g из категории F;
- через всякий допустимый эпиморфизм в G на объект, пришедший из F, можно пропустить образ допустимого эпиморфизма из F (и даже так, чтобы третья стрелка тоже была допустимым эпиморфизмом в G -- это следует из первого и последнего из этих четырех свойств);
- всякий морфизм в G из объекта, пришедшего из F, можно разложить в композицию морфизма, пришедшего из F, и допустимого эпиморфизма в G;
- ко всякому морфизму в G между объектами, пришедшими из F, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из F, так чтобы получился морфизм, пришедший из F.
