![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicУ меня есть два примера ситуации, описанной в предыдущем постинге. Возникают они в одной и той же науке про мотивы Артина-Тейта с конечными коэффициентами. В каком-то смысле, эти две ситуации совершенно разные; в каком-то другом -- очень похожи.
Разница в том, что в одном случае в роли естественного преобразования σ выступает невырожденный класс нулевых мотивных когомологий в весе один, а в другом -- вырожденный класс нулевых мотивных когомологий в весе ноль. В первом случае конструкция призвана осуществлять переход от фильтрованных к градуированным модулям, во втором -- производить редукцию локального кольца коэффициентов по модулю его не делящего ноль элемента.
Первый пример можно рассматривать в разной общности, но для целей сравнения со вторым примером, мы сформулируем его так. Пусть Γ -- проконечная группа, k -- коммутативное кольцо, E -- категория Γ-модулей над k, градуированных целыми числами с конечным числом ненулевых компонент, каждая из которых -- конечно-порожденный перестановочный Γ-модуль над k (т.е., конечно-порожденный свободный k-модуль, в котором Γ действует, переставляя базисные вектора). Морфизмы в E -- это просто морфизмы градуированных Γ-модулей над k; точная структура тривиальная (все точные тройки расщепимы).
Пусть F -- категория конечно фильтрованных целыми числами Γ-модулей над k, присоединенные градуированные фактормодули которых принадлежат E. Морфизмы в F -- просто морфизмы фильтрованных Γ-модулей над k; точные тройки -- это тройки с нулевой композицией, присоединенные факторы которых по фильтрации точны в E (т.е., расщепимо точны).
Функтор подкрутки (1) сдвигает фильтрацию на единицу; естественное преобразование σM -- это тождественное отображение между двумя копиями одного и того же Γ-модуля M, снабженными фильтрациями, отличающимися сдвигом номеров. Конструкция точной категории G = F/σ призвана уловить всю ту дополнительную структуру, которая индуцируется на присоединенном факторе фильтрованного Γ-модуля, принадлежащего категории F ("естественные однородные операторы ненулевой степени", грубо говоря). При этом важно иметь длинную точную последовательность, связывающую k-модули Ext в точных категориях F и G.
Во втором примере можно считать, для простоты, что категория F та же самая, что и в первом, только при этом k -- полное локальное кольцо. Но интереснее чуть усложнить ситуацию, предположив, что задан непрерывный мультипликативный характер χ: Γ → k*, и присоединенные факторы фильтрации на модулях из категории F -- не буквально перестановочные, а становятся таковыми после открутки действия Γ на степень χ, равную номеру градуировочной компоненты.
Функтор подкрутки (1) -- тождественный; естественное преобразование σ есть оператор умножения на фиксированный не делящий ноль элемент t из максимального идеала кольца k. Точная категория E должна быть совсем не такая, как в первом примере. Хочется использовать в ее роли категорию конечно фильтрованных k/t-модулей с конечно-порожденными свободными присоединенными факторами (можно отметить что, как и в первом примере, это аддитивная категория с тривиальной точной структурой). Функтор p -- редукция по модулю t с одновременным забыванием действия Γ.
[Update: Нет, так все-таки нельзя -- функтор, забывающий действие Γ, не может отражать точность троек в категории F. Либо брать E = Fk/t (в обозначениях ниже), либо заводить сразу две базовые точные категории, в данном случае фильтрованные k/t-модули и градуированные перестановочные Γ-модули над k/t. Или просто взять за E декартово произведение двух последних категорий (обе, кстати, с тривиальной точной структурой)?]
Конструкция точной категории G = F/σ в этом случае призвана, в идеале, выдавать заранее известную категорию, отличающуюся от F заменой кольца коэффициентов k на k/t. Цель всего построения в том, чтобы получить длинную точную последовательность, связывающую модули Ext в двух точных категориях, которые мы можем теперь обозначить через F = Fk и Fk/t.
Точнее сказать, точные категории G и Fk/t должны быть эквивалентны далеко не всегда. Длинная точная последовательность, связывающая модули Ext в категориях Fk и Fk/t, предположительно имеет место не в описанной ситуации вообще, а в очень конкретном случае, связанном с абсолютной группой Галуа и артин-тейтовскими мотивами. Для доказательства того, что естественный точный функтор G → Fk/t является эквивалентностью точных категорий, нужно использовать какие-то трудные теоремы о мотивных когомологиях. Конструкция точной категории G задумана как такой способ вывести существование искомой длинной точной последовательности из этих теорем.
Разница в том, что в одном случае в роли естественного преобразования σ выступает невырожденный класс нулевых мотивных когомологий в весе один, а в другом -- вырожденный класс нулевых мотивных когомологий в весе ноль. В первом случае конструкция призвана осуществлять переход от фильтрованных к градуированным модулям, во втором -- производить редукцию локального кольца коэффициентов по модулю его не делящего ноль элемента.
Первый пример можно рассматривать в разной общности, но для целей сравнения со вторым примером, мы сформулируем его так. Пусть Γ -- проконечная группа, k -- коммутативное кольцо, E -- категория Γ-модулей над k, градуированных целыми числами с конечным числом ненулевых компонент, каждая из которых -- конечно-порожденный перестановочный Γ-модуль над k (т.е., конечно-порожденный свободный k-модуль, в котором Γ действует, переставляя базисные вектора). Морфизмы в E -- это просто морфизмы градуированных Γ-модулей над k; точная структура тривиальная (все точные тройки расщепимы).
Пусть F -- категория конечно фильтрованных целыми числами Γ-модулей над k, присоединенные градуированные фактормодули которых принадлежат E. Морфизмы в F -- просто морфизмы фильтрованных Γ-модулей над k; точные тройки -- это тройки с нулевой композицией, присоединенные факторы которых по фильтрации точны в E (т.е., расщепимо точны).
Функтор подкрутки (1) сдвигает фильтрацию на единицу; естественное преобразование σM -- это тождественное отображение между двумя копиями одного и того же Γ-модуля M, снабженными фильтрациями, отличающимися сдвигом номеров. Конструкция точной категории G = F/σ призвана уловить всю ту дополнительную структуру, которая индуцируется на присоединенном факторе фильтрованного Γ-модуля, принадлежащего категории F ("естественные однородные операторы ненулевой степени", грубо говоря). При этом важно иметь длинную точную последовательность, связывающую k-модули Ext в точных категориях F и G.
Во втором примере можно считать, для простоты, что категория F та же самая, что и в первом, только при этом k -- полное локальное кольцо. Но интереснее чуть усложнить ситуацию, предположив, что задан непрерывный мультипликативный характер χ: Γ → k*, и присоединенные факторы фильтрации на модулях из категории F -- не буквально перестановочные, а становятся таковыми после открутки действия Γ на степень χ, равную номеру градуировочной компоненты.
Функтор подкрутки (1) -- тождественный; естественное преобразование σ есть оператор умножения на фиксированный не делящий ноль элемент t из максимального идеала кольца k. Точная категория E должна быть совсем не такая, как в первом примере. Хочется использовать в ее роли категорию конечно фильтрованных k/t-модулей с конечно-порожденными свободными присоединенными факторами (можно отметить что, как и в первом примере, это аддитивная категория с тривиальной точной структурой). Функтор p -- редукция по модулю t с одновременным забыванием действия Γ.
[Update: Нет, так все-таки нельзя -- функтор, забывающий действие Γ, не может отражать точность троек в категории F. Либо брать E = Fk/t (в обозначениях ниже), либо заводить сразу две базовые точные категории, в данном случае фильтрованные k/t-модули и градуированные перестановочные Γ-модули над k/t. Или просто взять за E декартово произведение двух последних категорий (обе, кстати, с тривиальной точной структурой)?]
Конструкция точной категории G = F/σ в этом случае призвана, в идеале, выдавать заранее известную категорию, отличающуюся от F заменой кольца коэффициентов k на k/t. Цель всего построения в том, чтобы получить длинную точную последовательность, связывающую модули Ext в двух точных категориях, которые мы можем теперь обозначить через F = Fk и Fk/t.
Точнее сказать, точные категории G и Fk/t должны быть эквивалентны далеко не всегда. Длинная точная последовательность, связывающая модули Ext в категориях Fk и Fk/t, предположительно имеет место не в описанной ситуации вообще, а в очень конкретном случае, связанном с абсолютной группой Галуа и артин-тейтовскими мотивами. Для доказательства того, что естественный точный функтор G → Fk/t является эквивалентностью точных категорий, нужно использовать какие-то трудные теоремы о мотивных когомологиях. Конструкция точной категории G задумана как такой способ вывести существование искомой длинной точной последовательности из этих теорем.
