Котензорное произведение матричных факторизаций

Конструкция тензорного произведения имеет смысл для двух матричных факторизаций двух разных потенциалов -- глобальных сечений одного и того же линейного расслоения на схеме. Матричным факторизациям M и N глобальных сечений w' и w'' линейного расслоения L на схеме X сопоставляется матричная факторизация M ⊗_OX N глобального сечения w' + w'' того же линейного расслоения L на X.

Недостаток операции тензорного произведения матричных факторизаций в том, что у нее нет производной версии. Проблема в том, что это должен был бы быть левый производный функтор. Современной науке неизвестна разумная конструкция обычной производной категории матричных факторизаций, а в копроизводных категориях бесконечными левыми резольвентами пользоваться нельзя. Ну или, точнее сказать, можно определить производный функтор тензорного произведения матричных факторизаций, компоненты (хот бы одной из) которых имеют конечную плоскую размерность, что-нибудь такое. Аналогичная проблема возникает в связи с функтором обычного обратного образа матричных факторизаций при схемном морфизме бесконечной плоской размерности.

С другой стороны, котензорное произведение квазикогерентных матричных факторизаций можно определить, пользуясь ковариантной двойственностью Серра-Гротендика для матричных факторизаций, аналогично тому, как это делается для комплексов квазикогерентных пучков. Так же, как и тензорное произведение, операция котензорного произведения сопоставляет двум матричным факторизациям M и N двух разных глобальных сечений одного и того же линейного расслоения на схеме матричную факторизацию суммы этих двух глобальных сечений.

Из трех формул для частных случаев котензорного произведения комплексов квазикогерентных пучков, описанных в постинге http://posic.livejournal.com/981857.html и следующем (по ссылке выше), для матричных факторизаций сохраняют силу последние две. При этом в случае с третьей формулой (использующей внешнее тензорное произведение) надо предполагать, что L = O_X.

Теория матричных факторизаций

для меня лично представляет собой нечастую удачную иллюстрацию к гельфандовскому тезису о пользе простых примеров. Я понимаю, это модная, "горячая" тема -- модель Ландау-Гинзбурга, D-браны, зеркальная симметрия -- но для меня все эти слова почти ничего не значат. Для меня, матричная факторизация -- это очень, очень простой пример CDG-модуля.

И рассмотрение этого простейшего примера оказывается на удивление продуктивным. Во что я году в 2009 еще не верил, но к февралю 2011 убедился. Целый ряд важнейших техник, связанных с производными категориями второго рода, ковариантной двойственностью Серра-Гротендика, а теперь и котензорным произведением квазикогерентных пучков, впервые отрабатывались у меня на примере или для целей, связанных с матричными факторизациями.

... Впрочем, на самом деле удачных иллюстраций к гельфандовскому тезису действительно больше, чем на первый взгляд кажется. Например, как можно заметить, пройдя по ссылкам, про то же котензорное произведение квазикогерентных пучков я изначально размышлял на примере абелевых групп кручения. Причем абелевы группы кручения -- это даже не пучки на схеме (а на инд-нетеровой инд-схеме, что и является желательной общностью для котензорного произведения).

Котензорное произведение матричных факторизаций - 2

Окончание постинга http://posic.livejournal.com/982861.html

Проблемы с первой формулой (предлагающей контравариантно дуализировать два когерентных объекта, тензорно перемножить, а потом дуализировать обратно) начинаются, конечно, с того, что для матричных факторизаций нет аналога понятия ограниченного сверху или снизу комплекса. Даже если бы такая формула имела место, нельзя было бы указать подкатегорию в копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций, к объектам которой эта формула была бы применима и которая сохранялась бы котензорным произведением.

Все, что можно сделать -- это заменить упоминания ограниченных сверху или снизу комплексов с когерентными когомологиями на просто когерентные матричные факторизации. Но дальше возникает следующая проблема: хотя бы одна из матричных факторизаций, подставляемых в функтор тензорного произведения, должна быть плоской (а никакого способа заменить матричную факторизацию на "слабо эквивалентную" ей плоскую нет).

Чтобы получить на выходе плоскую матричную факторизацию, надо подставлять инъективную матричную факторизацию в функтор контравариантной двойственности. Но функтор контравариантной двойственности определен только на абсолютной производной категории квазикогерентных матричных факторизаций; коацикличные, но не абсолютно ацикличные матричные факторизации ни в какие тривиальные в каком-либо смысле объекты он не переводит. А заменить когерентную матричную факторизацию на слабо эквивалентную ей инъективную можно только в копроизводной категории, в абсолютной производной категории нельзя.

Все это еще не доказывает, что формула неверна; контрпримера у меня сейчас под рукой нет; но доказать ее не получается (даже в случае аффинной схемы).

Можно рассмотреть, например, случай, когда одна из матричная факторизация N равна D_X, а M -- произвольная когерентная. Тогда формула утверждала бы, что если заменить M на изоморфную ей в копроизводной категории инъективную матричную факторизацию, а потом дважды применить функтор контравариантной двойственности Hom(−,D_X), то получится снова матричная факторизация, изоморфная M в копроизводной категории. Похоже ли это на правду?