![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicОкончание постинга http://posic.livejournal.com/982861.html
Проблемы с первой формулой (предлагающей контравариантно дуализировать два когерентных объекта, тензорно перемножить, а потом дуализировать обратно) начинаются, конечно, с того, что для матричных факторизаций нет аналога понятия ограниченного сверху или снизу комплекса. Даже если бы такая формула имела место, нельзя было бы указать подкатегорию в копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций, к объектам которой эта формула была бы применима и которая сохранялась бы котензорным произведением.
Все, что можно сделать -- это заменить упоминания ограниченных сверху или снизу комплексов с когерентными когомологиями на просто когерентные матричные факторизации. Но дальше возникает следующая проблема: хотя бы одна из матричных факторизаций, подставляемых в функтор тензорного произведения, должна быть плоской (а никакого способа заменить матричную факторизацию на "слабо эквивалентную" ей плоскую нет).
Чтобы получить на выходе плоскую матричную факторизацию, надо подставлять инъективную матричную факторизацию в функтор контравариантной двойственности. Но функтор контравариантной двойственности определен только на абсолютной производной категории квазикогерентных матричных факторизаций; коацикличные, но не абсолютно ацикличные матричные факторизации ни в какие тривиальные в каком-либо смысле объекты он не переводит. А заменить когерентную матричную факторизацию на слабо эквивалентную ей инъективную можно только в копроизводной категории, в абсолютной производной категории нельзя.
Все это еще не доказывает, что формула неверна; контрпримера у меня сейчас под рукой нет; но доказать ее не получается (даже в случае аффинной схемы).
Можно рассмотреть, например, случай, когда одна из матричная факторизация N равна DX, а M -- произвольная когерентная. Тогда формула утверждала бы, что если заменить M на изоморфную ей в копроизводной категории инъективную матричную факторизацию, а потом дважды применить функтор контравариантной двойственности Hom(−,DX), то получится снова матричная факторизация, изоморфная M в копроизводной категории. Похоже ли это на правду?
Проблемы с первой формулой (предлагающей контравариантно дуализировать два когерентных объекта, тензорно перемножить, а потом дуализировать обратно) начинаются, конечно, с того, что для матричных факторизаций нет аналога понятия ограниченного сверху или снизу комплекса. Даже если бы такая формула имела место, нельзя было бы указать подкатегорию в копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций, к объектам которой эта формула была бы применима и которая сохранялась бы котензорным произведением.
Все, что можно сделать -- это заменить упоминания ограниченных сверху или снизу комплексов с когерентными когомологиями на просто когерентные матричные факторизации. Но дальше возникает следующая проблема: хотя бы одна из матричных факторизаций, подставляемых в функтор тензорного произведения, должна быть плоской (а никакого способа заменить матричную факторизацию на "слабо эквивалентную" ей плоскую нет).
Чтобы получить на выходе плоскую матричную факторизацию, надо подставлять инъективную матричную факторизацию в функтор контравариантной двойственности. Но функтор контравариантной двойственности определен только на абсолютной производной категории квазикогерентных матричных факторизаций; коацикличные, но не абсолютно ацикличные матричные факторизации ни в какие тривиальные в каком-либо смысле объекты он не переводит. А заменить когерентную матричную факторизацию на слабо эквивалентную ей инъективную можно только в копроизводной категории, в абсолютной производной категории нельзя.
Все это еще не доказывает, что формула неверна; контрпримера у меня сейчас под рукой нет; но доказать ее не получается (даже в случае аффинной схемы).
Можно рассмотреть, например, случай, когда одна из матричная факторизация N равна DX, а M -- произвольная когерентная. Тогда формула утверждала бы, что если заменить M на изоморфную ей в копроизводной категории инъективную матричную факторизацию, а потом дважды применить функтор контравариантной двойственности Hom(−,DX), то получится снова матричная факторизация, изоморфная M в копроизводной категории. Похоже ли это на правду?
