![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКонструкция тензорного произведения имеет смысл для двух матричных факторизаций двух разных потенциалов -- глобальных сечений одного и того же линейного расслоения на схеме. Матричным факторизациям M и N глобальных сечений w' и w'' линейного расслоения L на схеме X сопоставляется матричная факторизация M ⊗OX N глобального сечения w' + w'' того же линейного расслоения L на X.
Недостаток операции тензорного произведения матричных факторизаций в том, что у нее нет производной версии. Проблема в том, что это должен был бы быть левый производный функтор. Современной науке неизвестна разумная конструкция обычной производной категории матричных факторизаций, а в копроизводных категориях бесконечными левыми резольвентами пользоваться нельзя. Ну или, точнее сказать, можно определить производный функтор тензорного произведения матричных факторизаций, компоненты (хот бы одной из) которых имеют конечную плоскую размерность, что-нибудь такое. Аналогичная проблема возникает в связи с функтором обычного обратного образа матричных факторизаций при схемном морфизме бесконечной плоской размерности.
С другой стороны, котензорное произведение квазикогерентных матричных факторизаций можно определить, пользуясь ковариантной двойственностью Серра-Гротендика для матричных факторизаций, аналогично тому, как это делается для комплексов квазикогерентных пучков. Так же, как и тензорное произведение, операция котензорного произведения сопоставляет двум матричным факторизациям M и N двух разных глобальных сечений одного и того же линейного расслоения на схеме матричную факторизацию суммы этих двух глобальных сечений.
Из трех формул для частных случаев котензорного произведения комплексов квазикогерентных пучков, описанных в постинге http://posic.livejournal.com/981857.html и следующем (по ссылке выше), для матричных факторизаций сохраняют силу последние две. При этом в случае с третьей формулой (использующей внешнее тензорное произведение) надо предполагать, что L = OX.
Недостаток операции тензорного произведения матричных факторизаций в том, что у нее нет производной версии. Проблема в том, что это должен был бы быть левый производный функтор. Современной науке неизвестна разумная конструкция обычной производной категории матричных факторизаций, а в копроизводных категориях бесконечными левыми резольвентами пользоваться нельзя. Ну или, точнее сказать, можно определить производный функтор тензорного произведения матричных факторизаций, компоненты (хот бы одной из) которых имеют конечную плоскую размерность, что-нибудь такое. Аналогичная проблема возникает в связи с функтором обычного обратного образа матричных факторизаций при схемном морфизме бесконечной плоской размерности.
С другой стороны, котензорное произведение квазикогерентных матричных факторизаций можно определить, пользуясь ковариантной двойственностью Серра-Гротендика для матричных факторизаций, аналогично тому, как это делается для комплексов квазикогерентных пучков. Так же, как и тензорное произведение, операция котензорного произведения сопоставляет двум матричным факторизациям M и N двух разных глобальных сечений одного и того же линейного расслоения на схеме матричную факторизацию суммы этих двух глобальных сечений.
Из трех формул для частных случаев котензорного произведения комплексов квазикогерентных пучков, описанных в постинге http://posic.livejournal.com/981857.html и следующем (по ссылке выше), для матричных факторизаций сохраняют силу последние две. При этом в случае с третьей формулой (использующей внешнее тензорное произведение) надо предполагать, что L = OX.
