Вопросы про вялые пучки и ковялые копучки

1. Верно ли, что всякий квазикогерентный пучок кокручения над нетеровой отделимой схемой вял? Нельзя ли эквивалентно определить квазикогерентные пучки кокручения как вялые пучки, сечения которых над аффинными открытыми подсхемами являются модулями кокручения над кольцами функций?

Заметим, что внутренний Hom в инъективный квазикогерентный пучок из когерентного пучка является вялым пучком. Более того, согласно теореме A.3 из 1102.0261, квазикогерентный внутренний Hom в инъективный квазикогерентный пучок O_X-модулей из нетеровой квазикогерентной O_X-алгебры является вялым пучком.

2. Верно ли, что проективные объекты категории контрагерентных копучков (произвольных или локально кокручения) над нетеровой схемой являются ковялыми (т.е. все их отображения коограничения косечений инъективны)? Нельзя ли эквивалентно определить проективные контрагерентные копучки как ковялые копучки с (очень) плоскими модулями косечений над аффинными открытыми подсхемами?

Аргументом в пользу этого является результат http://posic.livejournal.com/791884.html , согласно которому у плоского контрагерентного копучка отображения коограничения инъективны для аффинной нетеровой схемы и ее главных аффинных открытых подсхем.

08.07.12 - Update: 1, кажется, неверно: достаточно рассмотреть квазикогерентный пучок, связанный с модулем "Z с крышкой" над спектром Z. В 2 хочется сделать более сильные утверждения: проективные (локально) контрагерентные пучки ковялы, ковялые локально контрагерентные копучки контрагерентны, и свойство проективности контрагерентного копучка локально (в частности, если косечения контрагерентного копучка над аффинными открытыми подсхемами (очень) плоски, то он проективен).

Итак, ура

Теперь я знаю, что такое контрагерентный копучок контрамодулей локально кокручения над нетеровой формальной схемой. Это примерно важнейшее продвижение с начала апреля, когда появилась вся эта контрагерентно-копучковая деятельность.

Ср. http://posic.livejournal.com/785128.html

В развитие вопроса о резольвентах (R,I)-контрамодулей

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо, и пусть s ∈ R -- элемент. Напомним, что R-модуль P называется s-контраприспособленным, если Ext_R¹(R[s⁻¹],P) = 0, и s-контрамодулем, если Ext_Rⁱ(R[s⁻¹],P) = 0 для всех i (т.е., i = 0 и i = 1). R-модуль P называется модулем кокручения, если Ext_Rⁱ(F,P) = 0 для всех плоских R-модулей F и i > 0.

На R-модуле P, являющемся s-контрамодулем, корректно определены и имеют разумные свойства операции бесконечного суммирования, сопоставляющие последовательности элементов p_i ∈ P элемент ∑_i=0^∞ sⁱp_i ∈ P. Если I ⊂ R -- идеал в R, то R-модуль P называется I-контрамодулем, если он является s-контрамодулем для всех s ∈ I. Достаточно того, чтобы это условие выполнялось для s, пробегающих какое-нибудь множество образующих идеала I [см. 1202.2697, Appendix B].

Отметим, что любой фактормодуль s-контраприспособленного R-модуля s-контраприспособлен. Для любого R-модуля L, будем обозначать через L(s) образ отображения Hom_R(R[s⁻¹],L) → L, индуцированного отображением локализации R → R[s⁻¹]. Эквивалентным образом, R-подмодуль L(s) ⊂ L можно определить, как сумму всех R-подмодулей (или даже просто s-инвариантных абелевых подгрупп) L, на которых s действует сюръективно. Поэтому если L' = L/L(s) обозначает соответствующий фактормодуль, то L'(s) = 0. Таким образом, если R-модуль L s-контраприспособлен, то фактормодуль L/L(s) является s-контрамодулем (здесь существенно, что если L(s) = 0 для некоторого R-модуля L, то Hom_R(R[s⁻¹],L) = 0).

Пусть теперь s, t ∈ R и R-модуль L является t-контрамодулем. Тогда R-модуль Hom_R(R[s⁻¹],L) -- также t-контрамодуль (потому что на нем можно ввести операции бесконечного суммирования по степеням t) и образ L(s) гомоморфизма t-контрамодулей Hom_R(R[s⁻¹],L) → L является t-контрамодулем [loc. cit.]. Следовательно, фактормодуль L/L(s) остается t-контрамодулем. Если R-модуль L был к тому же s-контраприспособленным, L/L(s) будет как s-, так и t-контрамодулем.

R-модуль P называется R-контраприспособленным, если он s-контраприспособлен для всех s ∈ R, и (R,I)-контрамодулем, если он является R-контраприспособленным I-контрамодулем. Применяя конструкцию выше последовательно для всех образующих идеала I ⊂ R, мы за конечное число шагов (равное числу таких образующих) получаем максимальный фактормодуль R-контраприспособленного R-модуля P, являющийся I-контрамодулем (и тогда уже и (R,I)-контрамодулем). Обозначим этот фактормодуль через P/P(I).

О резольвентах (R,I)-контрамодулей - 2

Будем называть (R,I)-контрамодуль плоским, если он плоский, как R-модуль, и (R,I)-контрамодулем кокручения, если он является R-модулем кокручения.

Лемма 1: если P -- R-контраприспособленный плоский R-модуль, то фактормодуль P/P(I) является плоским (R,I)-контрамодулем.

Доказательство: как показано в Update к постингу http://posic.livejournal.com/792302.html , для любого s-контраприспособленного плоского R-модуля P фактормодуль P/P(s) является плоским R-модулем; так что остается применить индукцию по числу образующих идеала I.

Лемма 2: если K -- R-модуль кокручения, для которого Hom_R(R[s⁻¹]/R, K) = 0, то фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения (ср. постинг http://posic.livejournal.com/779768.html?mode=reply , где то же самое доказывается в предположении, что s не делит 0 в R).

Доказательство: в этих предположениях даже K(s) является R-модулем кокручения (что есть более сильное утверждение). В самом деле, если Hom_R(R[s⁻¹]/R, K) = 0, то отображение Hom_R(R[s⁻¹],K) → K инъективно и K(s) = Hom_R(R[s⁻¹],K). Осталось вспомнить, что Hom_R из плоского R-модуля в R-модуль кокручения является R-модулем кокручения.

Лемма 3: если 0 → P → K → F → 0 -- точная последовательность R-модулей, где P является s-контрамодулем, K -- R-модуль кокручения, а F -- плоский R-модуль, то 0 → P → K/K(s) → F/F(s) → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(s) -- R-модуль кокручения, F/F(s) -- плоский R-модуль, и все три модуля являются s-контрамодулями.

Доказательство: покажем прежде всего, что отображение K → F индуцирует изоморфизм подмодулей K(s) → F(s). В самом деле, Hom_R(R[s⁻¹]/R, F) = 0 согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/791884.html и Hom_R(R[s⁻¹]/R, P) ⊂ Hom_R(R[s⁻¹],P) = 0 по условию, откуда Hom_R(R[s⁻¹]/R, K) = 0. Поэтому K(s) = Hom_R(R[s⁻¹],K) и F(s) = Hom_R(R[s⁻¹],F), так что остается снова воспользоваться определнием s-контрамодуля (применительно к P).

Точность последовательности 0 → P → K/K(s) → F/F(s) → 0 следует из доказанного. Фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения согласно лемме 2. Поскольку всякий R-модуль кокручения R-контраприспособлен и фактормодуль s-контраприспособленного R-модуля s-контраприспособлен, R-модуль F = K/P s-контраприспособлен. Поэтому F/F(s) является плоским R-модулем и s-контрамодулем согласно лемме 1. Будучи расширением двух s-контрамодулей, модуль K/K(s) также является s-контрамодулем.

Следствие 1: если 0 → P → K → F → 0 -- точная последовательность R-модулей, где P является I-контрамодулем, K -- R-модуль кокручения, а F -- плоский R-модуль, то 0 → P → K/K(I) → F/F(I) → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(I) -- (R,I)-контрамодуль кокручения, а F/F(I) -- плоский (R,I)-контрамодуль.

Доказательство: индукция по числу образующих идеала I, использующая лемму 3.

Замечание: можно ослабить условия и заключения леммы 3 и следствия 1, заменив условие, что K является R-модулем кокручения, на условие R-контраприспособленности K, и соответственно, заключение, что K/K(s) или K/K(I) является R-модулем кокручения, на вывод, что соответствующий модуль R-контраприспособлен. Хотелось бы научиться аналогично/одновременно усиливать условие и заключение относительно F и F/F(s) или F/F(I), заменяя плоскость на очень плоскость; проблема в том, что существующее доказательство леммы 1 неприменимо в очень плоской ситуации.

Лемма 4: если 0 → K → F → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K является R-модулем кокручения, R-модуль F плоский, а P является s-контрамодулем, то 0 → K/K(s) → F/F(s) → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K/K(s) является R-модулем кокручения, R-модуль F/F(s) плоский, и все три R-модуля являются s-контрамодулями.

Доказательство: покажем сначала, что гомоморфизм K → F индуцирует изоморфизм подмодулей K(s) → F(s). В самом деле, Hom_R(R[s⁻¹]/R, K) ⊂ Hom_R(R[s⁻¹]/R, F) = 0 согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/791884.html , поэтому K(s) = Hom_R(R[s⁻¹],K) и F(s) = Hom_R(R[s⁻¹],F), и остается воспользоваться условием Ext_R*(R[s⁻¹],P) = 0. Точность последовательности 0 → K/K(s) → F/F(s) → P → 0 из этого вытекает.

Фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения согласно лемме 2. Поскольку всякий R-модуль кокручения R-контраприспособлен и расширение s-контраприспособленных R-модулей s-контраприспособлено, R-модуль F, являющийся расширением P с помощью K, s-контраприспособлен. Поэтому фактормодуль F/F(s) является плоским R-модулем и s-контрамодулем согласно лемме 1. Поскольку R-модуль K s-контраприспособлен, R-модуль K/K(s) является s-контрамодулем.

Следствие 2: если 0 → K → F → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K является R-модулем кокручения, R-модуль F плоский, а P является I-контрамодулем, то 0 → K/K(I) → F/F(I) → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(I) является R-модулем кокручения, R-модуль F/F(I) плоский, и все три R-модуля являются I-контрамодулями. Если к тому же P является (R,I)-контрамодулем, то все три модуля в новой точной последовательности являются (R,I)-контрамодулями.

Доказательство: индукция по числу образующих идеала I, использующая лемму 4.