![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R -- нетерово коммутативное кольцо, и пусть s ∈ R -- элемент. Напомним, что R-модуль P называется s-контраприспособленным, если ExtR1(R[s−1],P) = 0, и s-контрамодулем, если ExtRi(R[s−1],P) = 0 для всех i (т.е., i = 0 и i = 1). R-модуль P называется модулем кокручения, если ExtRi(F,P) = 0 для всех плоских R-модулей F и i > 0.
На R-модуле P, являющемся s-контрамодулем, корректно определены и имеют разумные свойства операции бесконечного суммирования, сопоставляющие последовательности элементов pi ∈ P элемент ∑i=0∞ sipi ∈ P. Если I ⊂ R -- идеал в R, то R-модуль P называется I-контрамодулем, если он является s-контрамодулем для всех s ∈ I. Достаточно того, чтобы это условие выполнялось для s, пробегающих какое-нибудь множество образующих идеала I [см. 1202.2697, Appendix B].
Отметим, что любой фактормодуль s-контраприспособленного R-модуля s-контраприспособлен. Для любого R-модуля L, будем обозначать через L(s) образ отображения HomR(R[s−1],L) → L, индуцированного отображением локализации R → R[s−1]. Эквивалентным образом, R-подмодуль L(s) ⊂ L можно определить, как сумму всех R-подмодулей (или даже просто s-инвариантных абелевых подгрупп) L, на которых s действует сюръективно. Поэтому если L' = L/L(s) обозначает соответствующий фактормодуль, то L'(s) = 0. Таким образом, если R-модуль L s-контраприспособлен, то фактормодуль L/L(s) является s-контрамодулем (здесь существенно, что если L(s) = 0 для некоторого R-модуля L, то HomR(R[s−1],L) = 0).
Пусть теперь s, t ∈ R и R-модуль L является t-контрамодулем. Тогда R-модуль HomR(R[s−1],L) -- также t-контрамодуль (потому что на нем можно ввести операции бесконечного суммирования по степеням t) и образ L(s) гомоморфизма t-контрамодулей HomR(R[s−1],L) → L является t-контрамодулем [loc. cit.]. Следовательно, фактормодуль L/L(s) остается t-контрамодулем. Если R-модуль L был к тому же s-контраприспособленным, L/L(s) будет как s-, так и t-контрамодулем.
R-модуль P называется R-контраприспособленным, если он s-контраприспособлен для всех s ∈ R, и (R,I)-контрамодулем, если он является R-контраприспособленным I-контрамодулем. Применяя конструкцию выше последовательно для всех образующих идеала I ⊂ R, мы за конечное число шагов (равное числу таких образующих) получаем максимальный фактормодуль R-контраприспособленного R-модуля P, являющийся I-контрамодулем (и тогда уже и (R,I)-контрамодулем). Обозначим этот фактормодуль через P/P(I).
На R-модуле P, являющемся s-контрамодулем, корректно определены и имеют разумные свойства операции бесконечного суммирования, сопоставляющие последовательности элементов pi ∈ P элемент ∑i=0∞ sipi ∈ P. Если I ⊂ R -- идеал в R, то R-модуль P называется I-контрамодулем, если он является s-контрамодулем для всех s ∈ I. Достаточно того, чтобы это условие выполнялось для s, пробегающих какое-нибудь множество образующих идеала I [см. 1202.2697, Appendix B].
Отметим, что любой фактормодуль s-контраприспособленного R-модуля s-контраприспособлен. Для любого R-модуля L, будем обозначать через L(s) образ отображения HomR(R[s−1],L) → L, индуцированного отображением локализации R → R[s−1]. Эквивалентным образом, R-подмодуль L(s) ⊂ L можно определить, как сумму всех R-подмодулей (или даже просто s-инвариантных абелевых подгрупп) L, на которых s действует сюръективно. Поэтому если L' = L/L(s) обозначает соответствующий фактормодуль, то L'(s) = 0. Таким образом, если R-модуль L s-контраприспособлен, то фактормодуль L/L(s) является s-контрамодулем (здесь существенно, что если L(s) = 0 для некоторого R-модуля L, то HomR(R[s−1],L) = 0).
Пусть теперь s, t ∈ R и R-модуль L является t-контрамодулем. Тогда R-модуль HomR(R[s−1],L) -- также t-контрамодуль (потому что на нем можно ввести операции бесконечного суммирования по степеням t) и образ L(s) гомоморфизма t-контрамодулей HomR(R[s−1],L) → L является t-контрамодулем [loc. cit.]. Следовательно, фактормодуль L/L(s) остается t-контрамодулем. Если R-модуль L был к тому же s-контраприспособленным, L/L(s) будет как s-, так и t-контрамодулем.
R-модуль P называется R-контраприспособленным, если он s-контраприспособлен для всех s ∈ R, и (R,I)-контрамодулем, если он является R-контраприспособленным I-контрамодулем. Применяя конструкцию выше последовательно для всех образующих идеала I ⊂ R, мы за конечное число шагов (равное числу таких образующих) получаем максимальный фактормодуль R-контраприспособленного R-модуля P, являющийся I-контрамодулем (и тогда уже и (R,I)-контрамодулем). Обозначим этот фактормодуль через P/P(I).
