В плоском модуле над нетеровым кольцом нет сильно делимых элементов кручения

Пусть A -- нетерово коммутативное кольцо, P -- плоский A-модуль, f -- элемент А. Тогда естественный гомоморфизм A-модулей Hom_A(A[f⁻¹], P) → P (индуцированный гомоморфизмом А-модулей A → A[f⁻¹]) инъективен. Другими словами, Hom_A(A[f⁻¹]/A, P) = 0. Третьими словами, не существует ненулевой бесконечной последовательности элементов p_i ∈ P, i≥0, таких что fp_i = p_i−1 и p₀ = 0.

Доказательство (ср. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия", лемма 3.3 главы III): рассмотрим возрастающую последовательность идеалов -- аннуляторов степеней элемента f в A. Пусть J -- наибольший идеал в этой цепочке, и пусть он является аннулятором элемента fⁿ. Очевидно, умножение на f действует инъективным эндоморфизмом на A-модуле A/J; соответственно, и умножение на fⁿ⁺¹ тоже.

Ввиду плоскости P, это значит, что умножение на fⁿ⁺¹ должно действовать инъективным эндоморфизмом на A-модуле P/JP. В частности, поскольку это отображение аннулирует класс элемента p_n+1, этот класс должен быть равен нулю, т.е. элемент p_n+1 в A-модуле P делится на идеал J. Поскольку J аннулируется элементом fⁿ, отсюда следует, что p₁ = 0 в P.

Ср. с (неудавшимся) постингом http://posic.livejournal.com/779768.html?mode=reply

Подмодуль делимых элементов контраприспособленного плоского модуля

Важная (для моих целей) задача: пусть F -- плоский модуль над кольцом R и s ∈ R -- элемент. Обозначим через F(s) подмодуль всех бесконечно s-делимых, в сильном смысле, элементов F, т.е. образ отображения Hom_R(R[s⁻¹], F) → F. Согласно предыдущему постингу, в случае нетерова кольца R это отображение инъективно. Является ли фактормодуль F/F(s) плоским? Хотя бы в случае, когда F не только плоский, но и s-контраприспособленный (т.е. Ext_R¹(R[s⁻¹], F) = 0)?

Вероятнее всего, ответ на этот вопрос хорошо известен специалистам по коммутативной алгебре, но единственное, что мне пока что удается показать, это что если модуль F s-контраприспособленный и плоский, то модуль F(s) тоже s-контраприспособленный и плоский. В самом деле, модуль Hom_R над когерентным кольцом R из s-очень плоского модуля (такого, как R[s⁻¹]) в s-контраприспособленный плоский модуль является s-контраприспособленным и плоским (поскольку тензорное произведение конечно представимого модуля на такой Hom изоморфно Hom'у в тензорное произведение -- ср. с леммой I.1.8б) в черновике статьи).

Update: вот доказательство плоскости F/F(s) для s-контраприспособленного плоского модуля F над нетеровым кольцом R. Как объяснено в предыдущем абзаце, для любого конечно-порожденного R-модуля M имеется естественный изоморфизм F(s)⊗_RM = Hom_R(R[s⁻¹], F⊗_RM). Как объяснено в следующем постинге, отображение Hom_R(R[s⁻¹], F⊗_RM) → F⊗_RM инъективно. Таким образом, мы показали, что естественное отображение F(s)⊗_RM → F⊗_RM инъективно для любого конечно-порожденного R-модуля M. Но это и значит, что R-модуль F/F(s) плоский (поскольку уж модуль F плоский).

UUpdate: что касается леммы о коммутации Hom с тензорным произведением, то в наибольшей (коммутативной) общности она выглядит так. Пусть R -- когерентное коммутативное кольцо, F -- R-модуль конечной проективной размерности, P -- плоский R-модуль, такой что Ext_Rⁱ(F,P) = 0 для всех i > 0. Тогда для любого конечно-представимого R-модуля M имеется изоморфизм Hom_R(F,P) ⊗_R M = Hom_R(F, P⊗_RM), и R-модуль Hom_R(F,P) плоский.

В самом деле, покажем сначала, что Ext_Rⁱ(F, P⊗_RM) = 0 для всех i > 0. Для этого рассмотрим левую резольвенту модуля M, составленную из конечно-порожденных проективных модулей. Помножив ее тензорно на P, получим левую резольвенту модуля P⊗_RM, составленную из модулей, высшие Ext'ы в которые из модуля F зануляются. Теперь Ext_Rⁱ(F, P⊗_RM) = Ext_Rⁱ⁺ⁿ(F, Z_n) при i > 0, где Z_n обозначает n-й модуль циклов рассматриваемой резольвенты модуля P⊗_RM. Поскольку F имеет конечную проективную размерность, взяв n достаточно большим, заключаем, что Ext_Rⁱ(F, P⊗_RM) = 0.

Теперь функтор Hom_R(F, P⊗_RM) точен на категории конечно-представимых R-модулей M, а функтор Hom_R(F,P) ⊗_R M точен справа. Между ними есть естественное преобразование Hom_R(F,P) ⊗_R M → Hom_R(F, P⊗_RM), являющееся изоморфизмом для конечно-порожденных проективных/свободных модулей M. Отсюда следует, что это изоморфизм для всех конечно-представимых M и модуль Hom_R(F,P) плоский.

В тензорном произведении плоского модуля на конечно-порожденный нет делимых элементов кручения

Пусть A -- нетерово коммутативное кольцо, P -- плоский A-модуль, M -- конечно-порожденный A-модуль, f -- элемент A. Тогда естественный гомоморфизм A-модулей Hom_A(A[f⁻¹], P⊗_AM) → P⊗_AM инъективен. Другими словами, Hom_A(A[f⁻¹]/A, P⊗_AM) = 0. Третьими словами, не существует ненулевой бесконечной последовательности x_i ∈ P⊗_AM, i≥0, такой что fx_i = x_i−1 и x₀ = 0.

Доказательство: рассмотрим возрастающую последовательность подмодулей -- аннуляторов степеней элемента f ∈ A в M. Пусть N -- наибольший подмодуль в этой цепочке, и пусть он является аннулятором элемента fⁿ. Очевидно, умножение на f действует инъективным эндоморфизмом на A-модуле M/N; соответственно, и умножение на элемент fⁿ⁺¹ тоже.

Ввиду плоскости P, это значит, что умножение на fⁿ⁺¹ должно действовать инъективным эндоморфизмом и на A-модуле P⊗_A(M/N) = (P⊗_AM)/(P⊗_AN). В частности, поскольку это отображение аннулирует класс элемента x_n+1, этот класс должен быть равен нулю, т.е., x_n+1 ∈ P⊗_AN ⊂ P⊗_AM. Поскольку N аннулируется элементом fⁿ, отсюда следует, что x₁ = 0 в P⊗_AM.

P.S. Отметим, что этот аргумент доказывает даже отсутствие слабо делимых элементов кручения. То, что мы на самом деле показали -- это что если x ∈ P⊗_AM, fx = 0, и x = fⁿy (где n определяется по f и M как в рассуждении выше), то x = 0.

P.P.S. Вот другое доказательство, использующее теорему Говорова-Лазара. Ввиду рассуждения с нетеровостью выше, существует такое n, что всякий элемент M, аннулируемый fⁿ⁺¹, аннулируется fⁿ. Тензорное произведение на плоский модуль P⊗_AM является направленным прямым пределом конечных прямых сумм копий M. Отсюда легко вывести, что оно обладает тем же свойством.

Полработы

Когда-то я начинал писать серию автобиографических постингов под общим названием "Прописывание", с моралью, что, по моему опыту, если половина работы сделана, а вторая упирается в отдельные технические трудности, следует заняться прописыванием того, что получается, и то, что не получается, получится по ходу дела.

Не исключено, что сейчас у меня случилась новая иллюстрация к этому утверждению. Кажется, я теперь умею доказывать существование плоских резольвент и резольвент кокручения в категории контрамодулей над адическим пополнением нетерова кольца.