В плоском модуле над нетеровым кольцом нет сильно делимых элементов кручения

[posic]

Пусть A -- нетерово коммутативное кольцо, P -- плоский A-модуль, f -- элемент А. Тогда естественный гомоморфизм A-модулей Hom_A(A[f⁻¹], P) → P (индуцированный гомоморфизмом А-модулей A → A[f⁻¹]) инъективен. Другими словами, Hom_A(A[f⁻¹]/A, P) = 0. Третьими словами, не существует ненулевой бесконечной последовательности элементов p_i ∈ P, i≥0, таких что fp_i = p_i−1 и p₀ = 0.

Доказательство (ср. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия", лемма 3.3 главы III): рассмотрим возрастающую последовательность идеалов -- аннуляторов степеней элемента f в A. Пусть J -- наибольший идеал в этой цепочке, и пусть он является аннулятором элемента fⁿ. Очевидно, умножение на f действует инъективным эндоморфизмом на A-модуле A/J; соответственно, и умножение на fⁿ⁺¹ тоже.

Ввиду плоскости P, это значит, что умножение на fⁿ⁺¹ должно действовать инъективным эндоморфизмом на A-модуле P/JP. В частности, поскольку это отображение аннулирует класс элемента p_n+1, этот класс должен быть равен нулю, т.е. элемент p_n+1 в A-модуле P делится на идеал J. Поскольку J аннулируется элементом fⁿ, отсюда следует, что p₁ = 0 в P.

Ср. с (неудавшимся) постингом http://posic.livejournal.com/779768.html?mode=reply