![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть A -- нетерово коммутативное кольцо, P -- плоский A-модуль, M -- конечно-порожденный A-модуль, f -- элемент A. Тогда естественный гомоморфизм A-модулей HomA(A[f−1], P⊗AM) → P⊗AM инъективен. Другими словами, HomA(A[f−1]/A, P⊗AM) = 0. Третьими словами, не существует ненулевой бесконечной последовательности xi ∈ P⊗AM, i≥0, такой что fxi = xi−1 и x0 = 0.
Доказательство: рассмотрим возрастающую последовательность подмодулей -- аннуляторов степеней элемента f ∈ A в M. Пусть N -- наибольший подмодуль в этой цепочке, и пусть он является аннулятором элемента fn. Очевидно, умножение на f действует инъективным эндоморфизмом на A-модуле M/N; соответственно, и умножение на элемент fn+1 тоже.
Ввиду плоскости P, это значит, что умножение на fn+1 должно действовать инъективным эндоморфизмом и на A-модуле P⊗A(M/N) = (P⊗AM)/(P⊗AN). В частности, поскольку это отображение аннулирует класс элемента xn+1, этот класс должен быть равен нулю, т.е., xn+1 ∈ P⊗AN ⊂ P⊗AM. Поскольку N аннулируется элементом fn, отсюда следует, что x1 = 0 в P⊗AM.
P.S. Отметим, что этот аргумент доказывает даже отсутствие слабо делимых элементов кручения. То, что мы на самом деле показали -- это что если x ∈ P⊗AM, fx = 0, и x = fny (где n определяется по f и M как в рассуждении выше), то x = 0.
P.P.S. Вот другое доказательство, использующее теорему Говорова-Лазара. Ввиду рассуждения с нетеровостью выше, существует такое n, что всякий элемент M, аннулируемый fn+1, аннулируется fn. Тензорное произведение на плоский модуль P⊗AM является направленным прямым пределом конечных прямых сумм копий M. Отсюда легко вывести, что оно обладает тем же свойством.
Доказательство: рассмотрим возрастающую последовательность подмодулей -- аннуляторов степеней элемента f ∈ A в M. Пусть N -- наибольший подмодуль в этой цепочке, и пусть он является аннулятором элемента fn. Очевидно, умножение на f действует инъективным эндоморфизмом на A-модуле M/N; соответственно, и умножение на элемент fn+1 тоже.
Ввиду плоскости P, это значит, что умножение на fn+1 должно действовать инъективным эндоморфизмом и на A-модуле P⊗A(M/N) = (P⊗AM)/(P⊗AN). В частности, поскольку это отображение аннулирует класс элемента xn+1, этот класс должен быть равен нулю, т.е., xn+1 ∈ P⊗AN ⊂ P⊗AM. Поскольку N аннулируется элементом fn, отсюда следует, что x1 = 0 в P⊗AM.
P.S. Отметим, что этот аргумент доказывает даже отсутствие слабо делимых элементов кручения. То, что мы на самом деле показали -- это что если x ∈ P⊗AM, fx = 0, и x = fny (где n определяется по f и M как в рассуждении выше), то x = 0.
P.P.S. Вот другое доказательство, использующее теорему Говорова-Лазара. Ввиду рассуждения с нетеровостью выше, существует такое n, что всякий элемент M, аннулируемый fn+1, аннулируется fn. Тензорное произведение на плоский модуль P⊗AM является направленным прямым пределом конечных прямых сумм копий M. Отсюда легко вывести, что оно обладает тем же свойством.
