О резольвентах (R,I)-контрамодулей - 2
May. 27th, 2012 05:05 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicБудем называть (R,I)-контрамодуль плоским, если он плоский, как R-модуль, и (R,I)-контрамодулем кокручения, если он является R-модулем кокручения.
Лемма 1: если P -- R-контраприспособленный плоский R-модуль, то фактормодуль P/P(I) является плоским (R,I)-контрамодулем.
Доказательство: как показано в Update к постингу http://posic.livejournal.com/792302.html , для любого s-контраприспособленного плоского R-модуля P фактормодуль P/P(s) является плоским R-модулем; так что остается применить индукцию по числу образующих идеала I.
Лемма 2: если K -- R-модуль кокручения, для которого HomR(R[s−1]/R, K) = 0, то фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения (ср. постинг http://posic.livejournal.com/779768.html?mode=reply , где то же самое доказывается в предположении, что s не делит 0 в R).
Доказательство: в этих предположениях даже K(s) является R-модулем кокручения (что есть более сильное утверждение). В самом деле, если HomR(R[s−1]/R, K) = 0, то отображение HomR(R[s−1],K) → K инъективно и K(s) = HomR(R[s−1],K). Осталось вспомнить, что HomR из плоского R-модуля в R-модуль кокручения является R-модулем кокручения.
Лемма 3: если 0 → P → K → F → 0 -- точная последовательность R-модулей, где P является s-контрамодулем, K -- R-модуль кокручения, а F -- плоский R-модуль, то 0 → P → K/K(s) → F/F(s) → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(s) -- R-модуль кокручения, F/F(s) -- плоский R-модуль, и все три модуля являются s-контрамодулями.
Доказательство: покажем прежде всего, что отображение K → F индуцирует изоморфизм подмодулей K(s) → F(s). В самом деле, HomR(R[s−1]/R, F) = 0 согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/791884.html и HomR(R[s−1]/R, P) ⊂ HomR(R[s−1],P) = 0 по условию, откуда HomR(R[s−1]/R, K) = 0. Поэтому K(s) = HomR(R[s−1],K) и F(s) = HomR(R[s−1],F), так что остается снова воспользоваться определнием s-контрамодуля (применительно к P).
Точность последовательности 0 → P → K/K(s) → F/F(s) → 0 следует из доказанного. Фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения согласно лемме 2. Поскольку всякий R-модуль кокручения R-контраприспособлен и фактормодуль s-контраприспособленного R-модуля s-контраприспособлен, R-модуль F = K/P s-контраприспособлен. Поэтому F/F(s) является плоским R-модулем и s-контрамодулем согласно лемме 1. Будучи расширением двух s-контрамодулей, модуль K/K(s) также является s-контрамодулем.
Следствие 1: если 0 → P → K → F → 0 -- точная последовательность R-модулей, где P является I-контрамодулем, K -- R-модуль кокручения, а F -- плоский R-модуль, то 0 → P → K/K(I) → F/F(I) → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(I) -- (R,I)-контрамодуль кокручения, а F/F(I) -- плоский (R,I)-контрамодуль.
Доказательство: индукция по числу образующих идеала I, использующая лемму 3.
Замечание: можно ослабить условия и заключения леммы 3 и следствия 1, заменив условие, что K является R-модулем кокручения, на условие R-контраприспособленности K, и соответственно, заключение, что K/K(s) или K/K(I) является R-модулем кокручения, на вывод, что соответствующий модуль R-контраприспособлен. Хотелось бы научиться аналогично/одновременно усиливать условие и заключение относительно F и F/F(s) или F/F(I), заменяя плоскость на очень плоскость; проблема в том, что существующее доказательство леммы 1 неприменимо в очень плоской ситуации.
Лемма 4: если 0 → K → F → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K является R-модулем кокручения, R-модуль F плоский, а P является s-контрамодулем, то 0 → K/K(s) → F/F(s) → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K/K(s) является R-модулем кокручения, R-модуль F/F(s) плоский, и все три R-модуля являются s-контрамодулями.
Доказательство: покажем сначала, что гомоморфизм K → F индуцирует изоморфизм подмодулей K(s) → F(s). В самом деле, HomR(R[s−1]/R, K) ⊂ HomR(R[s−1]/R, F) = 0 согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/791884.html , поэтому K(s) = HomR(R[s−1],K) и F(s) = HomR(R[s−1],F), и остается воспользоваться условием ExtR*(R[s−1],P) = 0. Точность последовательности 0 → K/K(s) → F/F(s) → P → 0 из этого вытекает.
Фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения согласно лемме 2. Поскольку всякий R-модуль кокручения R-контраприспособлен и расширение s-контраприспособленных R-модулей s-контраприспособлено, R-модуль F, являющийся расширением P с помощью K, s-контраприспособлен. Поэтому фактормодуль F/F(s) является плоским R-модулем и s-контрамодулем согласно лемме 1. Поскольку R-модуль K s-контраприспособлен, R-модуль K/K(s) является s-контрамодулем.
Следствие 2: если 0 → K → F → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K является R-модулем кокручения, R-модуль F плоский, а P является I-контрамодулем, то 0 → K/K(I) → F/F(I) → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(I) является R-модулем кокручения, R-модуль F/F(I) плоский, и все три R-модуля являются I-контрамодулями. Если к тому же P является (R,I)-контрамодулем, то все три модуля в новой точной последовательности являются (R,I)-контрамодулями.
Доказательство: индукция по числу образующих идеала I, использующая лемму 4.
Лемма 1: если P -- R-контраприспособленный плоский R-модуль, то фактормодуль P/P(I) является плоским (R,I)-контрамодулем.
Доказательство: как показано в Update к постингу http://posic.livejournal.com/792302.html , для любого s-контраприспособленного плоского R-модуля P фактормодуль P/P(s) является плоским R-модулем; так что остается применить индукцию по числу образующих идеала I.
Лемма 2: если K -- R-модуль кокручения, для которого HomR(R[s−1]/R, K) = 0, то фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения (ср. постинг http://posic.livejournal.com/779768.html?mode=reply , где то же самое доказывается в предположении, что s не делит 0 в R).
Доказательство: в этих предположениях даже K(s) является R-модулем кокручения (что есть более сильное утверждение). В самом деле, если HomR(R[s−1]/R, K) = 0, то отображение HomR(R[s−1],K) → K инъективно и K(s) = HomR(R[s−1],K). Осталось вспомнить, что HomR из плоского R-модуля в R-модуль кокручения является R-модулем кокручения.
Лемма 3: если 0 → P → K → F → 0 -- точная последовательность R-модулей, где P является s-контрамодулем, K -- R-модуль кокручения, а F -- плоский R-модуль, то 0 → P → K/K(s) → F/F(s) → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(s) -- R-модуль кокручения, F/F(s) -- плоский R-модуль, и все три модуля являются s-контрамодулями.
Доказательство: покажем прежде всего, что отображение K → F индуцирует изоморфизм подмодулей K(s) → F(s). В самом деле, HomR(R[s−1]/R, F) = 0 согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/791884.html и HomR(R[s−1]/R, P) ⊂ HomR(R[s−1],P) = 0 по условию, откуда HomR(R[s−1]/R, K) = 0. Поэтому K(s) = HomR(R[s−1],K) и F(s) = HomR(R[s−1],F), так что остается снова воспользоваться определнием s-контрамодуля (применительно к P).
Точность последовательности 0 → P → K/K(s) → F/F(s) → 0 следует из доказанного. Фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения согласно лемме 2. Поскольку всякий R-модуль кокручения R-контраприспособлен и фактормодуль s-контраприспособленного R-модуля s-контраприспособлен, R-модуль F = K/P s-контраприспособлен. Поэтому F/F(s) является плоским R-модулем и s-контрамодулем согласно лемме 1. Будучи расширением двух s-контрамодулей, модуль K/K(s) также является s-контрамодулем.
Следствие 1: если 0 → P → K → F → 0 -- точная последовательность R-модулей, где P является I-контрамодулем, K -- R-модуль кокручения, а F -- плоский R-модуль, то 0 → P → K/K(I) → F/F(I) → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(I) -- (R,I)-контрамодуль кокручения, а F/F(I) -- плоский (R,I)-контрамодуль.
Доказательство: индукция по числу образующих идеала I, использующая лемму 3.
Замечание: можно ослабить условия и заключения леммы 3 и следствия 1, заменив условие, что K является R-модулем кокручения, на условие R-контраприспособленности K, и соответственно, заключение, что K/K(s) или K/K(I) является R-модулем кокручения, на вывод, что соответствующий модуль R-контраприспособлен. Хотелось бы научиться аналогично/одновременно усиливать условие и заключение относительно F и F/F(s) или F/F(I), заменяя плоскость на очень плоскость; проблема в том, что существующее доказательство леммы 1 неприменимо в очень плоской ситуации.
Лемма 4: если 0 → K → F → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K является R-модулем кокручения, R-модуль F плоский, а P является s-контрамодулем, то 0 → K/K(s) → F/F(s) → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K/K(s) является R-модулем кокручения, R-модуль F/F(s) плоский, и все три R-модуля являются s-контрамодулями.
Доказательство: покажем сначала, что гомоморфизм K → F индуцирует изоморфизм подмодулей K(s) → F(s). В самом деле, HomR(R[s−1]/R, K) ⊂ HomR(R[s−1]/R, F) = 0 согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/791884.html , поэтому K(s) = HomR(R[s−1],K) и F(s) = HomR(R[s−1],F), и остается воспользоваться условием ExtR*(R[s−1],P) = 0. Точность последовательности 0 → K/K(s) → F/F(s) → P → 0 из этого вытекает.
Фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения согласно лемме 2. Поскольку всякий R-модуль кокручения R-контраприспособлен и расширение s-контраприспособленных R-модулей s-контраприспособлено, R-модуль F, являющийся расширением P с помощью K, s-контраприспособлен. Поэтому фактормодуль F/F(s) является плоским R-модулем и s-контрамодулем согласно лемме 1. Поскольку R-модуль K s-контраприспособлен, R-модуль K/K(s) является s-контрамодулем.
Следствие 2: если 0 → K → F → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K является R-модулем кокручения, R-модуль F плоский, а P является I-контрамодулем, то 0 → K/K(I) → F/F(I) → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(I) является R-модулем кокручения, R-модуль F/F(I) плоский, и все три R-модуля являются I-контрамодулями. Если к тому же P является (R,I)-контрамодулем, то все три модуля в новой точной последовательности являются (R,I)-контрамодулями.
Доказательство: индукция по числу образующих идеала I, использующая лемму 4.
