Вакансии у нас на факультете

На факультете математики НИУ-ВШЭ открыт конкурс на замещение вакантной должности доцента. Имеются 3 вакантные ставки. Прием заявлений: до 31 мая, начало работы: с 1 сентября.

http://math.hse.ru/announcements/28273926.html

Ситуация с языком: нет обязательного требования, чтобы все преподаватели знали русский, часть курсов идет по-английски, но в основном преподавание все же по-русски.

Ко-контра соответствие над аффинной нетеровой формальной схемой - 2

Из леммы Артина-Риса легко следует, что инъективный объект в категории R-модулей m-кручения является также инъективным объектом в категории всех R-модулей. Докажем аналогичное утверждение для контрамодулей: контраплоский (R,m)-контрамодуль является также плоским R-модулем.

Во-первых, для любого R-контрамодуля P естественное отображение из P в проективный предел P/mⁿP по возрастающим n сюръективно, что легко показать, используя операции бесконечного суммирования в P (см. также Appendix A к Homological algebra of semimodules...) Ядром этого отображения, очевидно, является пересечение mⁿP по всем n. Ниже мы покажем, что для контраплоского контрамодуля P это отображение является изоморфизмом.

Пусть P -- контраплоский контрамодуль, изоморфный проективному пределу своих фактормодулей P/mⁿP. Рассмотрим функтор, сопоставляющий конечно-порожденному R-модулю M проективный предел тензорных произведений P/mⁿP ⊗_RM. Покажем, что этот функтор точен.

В самом деле, для любой короткой точной последовательности конечно-порожденных R-модулей K → L → M имеются точные тройки R/mⁿ-модулей K/(K∩mⁿL) → L/mⁿL → M/mⁿM. Тензорное умножение на P/mⁿP сохраняет точность этих троек, поскольку R/mⁿ-модуль P/mⁿP плоский. Переход к проективному пределу по n (таких тензорных произведений) также сохраняет точность, поскольку все отображения в проективных системах сюръективны.

С другой стороны, по лемме Артина-Риса проективная система K/(K∩mⁿL)⊗_RP "взаимно конфинальна" (или как это лучше назвать?) с проективной системой K/mⁿK⊗_RP. Поэтому соответствующие проективные пределы совпадают и мы доказали, что наш функтор точен.

Для конечно-порожденных свободных R-модулей P наш функтор изоморфен функтору тензорного произведения с P над R. Два точных справа функтора, совпадающих на свободных модулях, совпадают и на произвольных (конечно-порожденных модулях). Таким образом мы показали, что функтор тензорного произведения с P над R точен на категории конечно-порожденных R-модулей, т.е. P -- плоский R-модуль.

Пусть теперь F -- произвольный контраплоский R-модуль; обозначим через P проективный предел фактормодулей F/mⁿF. Другими словами, P есть фактор(контра)модуль F по под(контра)модулю K = ∩mⁿF. Ясно, что P/mⁿP = F/mⁿF, так что контрамодуль P контраплоский. Согласно доказанному выше, P является плоским R-модулем.

Рассмотрим короткую точную последовательность K → F → P и умножим ее тензорно над R на R/m. Поскольку P -- плоский R-модуль, последовательность останется точной. Отсюда K/mK = 0, что влечет K = 0 по лемме Накаямы для контрамодулей.

Оба заявленных утверждения доказаны.

Ко-контра соответствие над аффинной нетеровой формальной схемой - 3

Пусть J', J'' -- инъективные R-модули m-кручения, а M -- конечно-порожденный R-модуль. Тогда имеется естественный изоморфизм R-модулей M⊗_RHom_R(J',J'') = Hom_R(Hom_R(M,J'),J''). (В самом деле, оба функтора точны справа и совпадают на конечно-порожденных свободных свободных R-модулях. Отсюда следует, что R-(контра)модуль Hom_R(J',J'') плоский.) В частности, при M = R/mⁿ мы узнаем, что фактормодуль Hom_R(J',J'')/mⁿHom_R(J',J'') совпадает с модулем Hom_R(J'(n),J''(n)), где через J(n) мы обозначаем подмодуль элементов, аннулируемых mⁿ в J.

Пусть J -- инъективный R-модуль m-кручения, а F -- контраплоский R-контрамодуль. Тогда для любого конечно-порожденного R-модуля M имеется изоморфизм R-модулей Hom_R(M,J⊗_RF) = Hom_R(M,J)⊗_RF. (В самом деле, оба функтора точны слева и совпадают на конечно-порожденных свободных R-модулях. Отсюда следует, что R-модуль m-кручения J⊗_RF инъективен.) В частности, при M = R/mⁿ мы узнаем, что подмодуль (J⊗_RF)(n) элементов, аннулируемых mⁿ в J⊗_RF, совпадает с тензорным произведением J(n)⊗_RF.

Пусть теперь D -- дуализирующий комплекс на аффинной формальной схеме, связанной с (R,m); напомним, что, по определению, D является конечным комплексом инъективных R-модулей m-кручения. Покажем, что для любого контраплоского (R,m)-контрамодуля F естественное отображение конечных комплексов контраплоских (R,m)-контрамодулей F → Hom_R(D, D⊗_RF) является квазиизоморфизмом.

В самом деле, из вычислений выше следует, что редукция по модулю mⁿ превращает этот морфизм в морфизм R/mⁿ-модулей F/mⁿF → Hom_R(D(n), D(n)⊗_RF/mⁿF). Последний является квазиизоморфизмом согласно версии нашего утверждения для (обычных, не формальных) нетеровых схем с дуализирующими комплексами (доказанной в статье Coherent analogues...) Переход к проективному пределу по системе сюръективных морфизмов комплексов сохраняет точность.

Аналогично, пусть J -- инъективный R-модуль m-кручения. Покажем, что естественное отображение конечных комплексов инъективных R-модулей m-кручения D ⊗_R Hom_R(D,J) → J является квазиизоморфизмом. Из вычислений выше следует, что переход к подмодулям, аннулируемым mⁿ превращает этот морфизм в морфизм R/mⁿ-модулей D(n) ⊗_R Hom_R(D(n),J(n)) → D(n). Остается воспользоваться версией нашего утверждения для (обычных, не формальных) нетеровых схем с дуализирующими комплексами.

Ко-контра соответствие над аффинной нетеровой формальной схемой - 4

Теорема. Для любого нетерова кольца R с идеалом m, снабженной дуализирующим комплексом D, копроизводная категория R-модулей m-кручения естественным образом эквивалентна контрапроизводной категории (R,m)-контрамодулей.

Доказательство: категория R-модулей m-кручения является локально нетеровой абелевой категорией Гротендика; в частности, в ней точен функтор бесконечных прямых сумм, достаточно много инъективных объектов, и класс инъективных объектов замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Поэтому копроизводная категория R-модулей m-кручения эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных R-модулей m-кручения.

В абелевой категории (R,m)-контрамодулей точен функтор бесконечных произведений и достаточно много контраплоских контрамодулей, класс которых замкнут относительно бесконечных произведений (потому что идеал mⁿ конечно-порожден, так что факторизация по нему коммутирует с бесконечными произведениями, и класс плоских R/mⁿ-модулей замкнут относительно бесконечных произведений для всех n -- или, если угодно, просто потому, что класс плоских R-модулей замкнут относительно бесконечных произведений).

Пользуясь известным рассуждением из раздела 1.5 статьи Coherent analogues..., можно отсюда вывести, что контрапроизводная категория (R,m)-контрамодулей эквивалентна контрапроизводной категории контраплоских (R,m)-контрамодулей. Альтернативным образом, можно показать, в духе раздела A.3 книжки Homological algebra of semimodules..., что контраплоский (R,m)-контрамодуль P с проективным R/m-модулем P/mP проективен (как (R,m)-контрамодуль), откуда вывести, что контраплоский (R,m)-контрамодуль имеет конечную резольвенту из проективных (R,m)-контрамодулей и дальше рассуждать, как в разделе 3.8 мемуара Two kinds of derived categories... (отсюда следует даже, что контрапроизводная категория (R,m)-контрамодулей эквивалентна абсолютной производной категории контраплоских (R,m)-контрамодулей).

Так или иначе, для дальнейшего рассуждения нам достаточно того, что комплекс контраплоских (R,m)-контрамодулей, являющийся контраацикличным как комплекс (R,m)-контрамодулей, ацикличен и имеет контраплоские контрамодули коциклов/кограниц. (Контра)тензорное умножение на инъективный R-модуль кручения превращает такой комплекс в стягиваемый. (Рассуждение после слов "Альтернативным образом..." выше все-таки понадобится нам для доказательства аналога теоремы для случая матричных факторизаций, например.)

Теперь функторы D⊗_R− и Hom_R(D,−) между (контра/абсолютной)производной категорией контраплоских (R,m)-контрамодулей и гомотопической категорией инъективных R-модулей m-кручения являются взаимно-обратными эквивалентностями, как следует из рассуждений в предыдущем постинге.

Комодульно-контрамодульное соответствие над аффинной нетеровой формальной схемой построено.

Зачем контрагерентные копучки?

Вот именно для того, чтобы обобщить результаты последней серии постингов про ко-контра соответствие со случая аффинных на произвольные нетеровы формальные схемы (с дуализирующими комплексами).

На самом деле, если смотреть на вещи оптимистически, можно надеяться иметь даже две глобализации понятия контрамодуля. Условно говоря, контраплоские контракогерентные пучки -- http://posic.livejournal.com/713074.html и контрагерентные копучки кокручения -- http://posic.livejournal.com/771746.html

И ко-контра соответствие, в идеале, связывало бы все три категории (абсолютную производную категорию контраплоских пучков, контрапроизводную категорию копучков кокручения и копроизводную категорию обычных квазикогерентных пучков кручения). Что-нибудь в этом роде.

И еще отдельно есть абелева категория когерентных пучков на нетеровой формальной схеме, да? Которую хотелось бы как-то во все перечисленное засунуть.