![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicИз леммы Артина-Риса легко следует, что инъективный объект в категории R-модулей m-кручения является также инъективным объектом в категории всех R-модулей. Докажем аналогичное утверждение для контрамодулей: контраплоский (R,m)-контрамодуль является также плоским R-модулем.
Во-первых, для любого R-контрамодуля P естественное отображение из P в проективный предел P/mnP по возрастающим n сюръективно, что легко показать, используя операции бесконечного суммирования в P (см. также Appendix A к Homological algebra of semimodules...) Ядром этого отображения, очевидно, является пересечение mnP по всем n. Ниже мы покажем, что для контраплоского контрамодуля P это отображение является изоморфизмом.
Пусть P -- контраплоский контрамодуль, изоморфный проективному пределу своих фактормодулей P/mnP. Рассмотрим функтор, сопоставляющий конечно-порожденному R-модулю M проективный предел тензорных произведений P/mnP ⊗RM. Покажем, что этот функтор точен.
В самом деле, для любой короткой точной последовательности конечно-порожденных R-модулей K → L → M имеются точные тройки R/mn-модулей K/(K∩mnL) → L/mnL → M/mnM. Тензорное умножение на P/mnP сохраняет точность этих троек, поскольку R/mn-модуль P/mnP плоский. Переход к проективному пределу по n (таких тензорных произведений) также сохраняет точность, поскольку все отображения в проективных системах сюръективны.
С другой стороны, по лемме Артина-Риса проективная система K/(K∩mnL)⊗RP "взаимно конфинальна" (или как это лучше назвать?) с проективной системой K/mnK⊗RP. Поэтому соответствующие проективные пределы совпадают и мы доказали, что наш функтор точен.
Для конечно-порожденных свободных R-модулей P наш функтор изоморфен функтору тензорного произведения с P над R. Два точных справа функтора, совпадающих на свободных модулях, совпадают и на произвольных (конечно-порожденных модулях). Таким образом мы показали, что функтор тензорного произведения с P над R точен на категории конечно-порожденных R-модулей, т.е. P -- плоский R-модуль.
Пусть теперь F -- произвольный контраплоский R-модуль; обозначим через P проективный предел фактормодулей F/mnF. Другими словами, P есть фактор(контра)модуль F по под(контра)модулю K = ∩mnF. Ясно, что P/mnP = F/mnF, так что контрамодуль P контраплоский. Согласно доказанному выше, P является плоским R-модулем.
Рассмотрим короткую точную последовательность K → F → P и умножим ее тензорно над R на R/m. Поскольку P -- плоский R-модуль, последовательность останется точной. Отсюда K/mK = 0, что влечет K = 0 по лемме Накаямы для контрамодулей.
Оба заявленных утверждения доказаны.
Во-первых, для любого R-контрамодуля P естественное отображение из P в проективный предел P/mnP по возрастающим n сюръективно, что легко показать, используя операции бесконечного суммирования в P (см. также Appendix A к Homological algebra of semimodules...) Ядром этого отображения, очевидно, является пересечение mnP по всем n. Ниже мы покажем, что для контраплоского контрамодуля P это отображение является изоморфизмом.
Пусть P -- контраплоский контрамодуль, изоморфный проективному пределу своих фактормодулей P/mnP. Рассмотрим функтор, сопоставляющий конечно-порожденному R-модулю M проективный предел тензорных произведений P/mnP ⊗RM. Покажем, что этот функтор точен.
В самом деле, для любой короткой точной последовательности конечно-порожденных R-модулей K → L → M имеются точные тройки R/mn-модулей K/(K∩mnL) → L/mnL → M/mnM. Тензорное умножение на P/mnP сохраняет точность этих троек, поскольку R/mn-модуль P/mnP плоский. Переход к проективному пределу по n (таких тензорных произведений) также сохраняет точность, поскольку все отображения в проективных системах сюръективны.
С другой стороны, по лемме Артина-Риса проективная система K/(K∩mnL)⊗RP "взаимно конфинальна" (или как это лучше назвать?) с проективной системой K/mnK⊗RP. Поэтому соответствующие проективные пределы совпадают и мы доказали, что наш функтор точен.
Для конечно-порожденных свободных R-модулей P наш функтор изоморфен функтору тензорного произведения с P над R. Два точных справа функтора, совпадающих на свободных модулях, совпадают и на произвольных (конечно-порожденных модулях). Таким образом мы показали, что функтор тензорного произведения с P над R точен на категории конечно-порожденных R-модулей, т.е. P -- плоский R-модуль.
Пусть теперь F -- произвольный контраплоский R-модуль; обозначим через P проективный предел фактормодулей F/mnF. Другими словами, P есть фактор(контра)модуль F по под(контра)модулю K = ∩mnF. Ясно, что P/mnP = F/mnF, так что контрамодуль P контраплоский. Согласно доказанному выше, P является плоским R-модулем.
Рассмотрим короткую точную последовательность K → F → P и умножим ее тензорно над R на R/m. Поскольку P -- плоский R-модуль, последовательность останется точной. Отсюда K/mK = 0, что влечет K = 0 по лемме Накаямы для контрамодулей.
Оба заявленных утверждения доказаны.
