![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть J', J'' -- инъективные R-модули m-кручения, а M -- конечно-порожденный R-модуль. Тогда имеется естественный изоморфизм R-модулей M⊗RHomR(J',J'') = HomR(HomR(M,J'),J''). (В самом деле, оба функтора точны справа и совпадают на конечно-порожденных свободных свободных R-модулях. Отсюда следует, что R-(контра)модуль HomR(J',J'') плоский.) В частности, при M = R/mn мы узнаем, что фактормодуль HomR(J',J'')/mnHomR(J',J'') совпадает с модулем HomR(J'(n),J''(n)), где через J(n) мы обозначаем подмодуль элементов, аннулируемых mn в J.
Пусть J -- инъективный R-модуль m-кручения, а F -- контраплоский R-контрамодуль. Тогда для любого конечно-порожденного R-модуля M имеется изоморфизм R-модулей HomR(M,J⊗RF) = HomR(M,J)⊗RF. (В самом деле, оба функтора точны слева и совпадают на конечно-порожденных свободных R-модулях. Отсюда следует, что R-модуль m-кручения J⊗RF инъективен.) В частности, при M = R/mn мы узнаем, что подмодуль (J⊗RF)(n) элементов, аннулируемых mn в J⊗RF, совпадает с тензорным произведением J(n)⊗RF.
Пусть теперь D -- дуализирующий комплекс на аффинной формальной схеме, связанной с (R,m); напомним, что, по определению, D является конечным комплексом инъективных R-модулей m-кручения. Покажем, что для любого контраплоского (R,m)-контрамодуля F естественное отображение конечных комплексов контраплоских (R,m)-контрамодулей F → HomR(D, D⊗RF) является квазиизоморфизмом.
В самом деле, из вычислений выше следует, что редукция по модулю mn превращает этот морфизм в морфизм R/mn-модулей F/mnF → HomR(D(n), D(n)⊗RF/mnF). Последний является квазиизоморфизмом согласно версии нашего утверждения для (обычных, не формальных) нетеровых схем с дуализирующими комплексами (доказанной в статье Coherent analogues...) Переход к проективному пределу по системе сюръективных морфизмов комплексов сохраняет точность.
Аналогично, пусть J -- инъективный R-модуль m-кручения. Покажем, что естественное отображение конечных комплексов инъективных R-модулей m-кручения D ⊗R HomR(D,J) → J является квазиизоморфизмом. Из вычислений выше следует, что переход к подмодулям, аннулируемым mn превращает этот морфизм в морфизм R/mn-модулей D(n) ⊗R HomR(D(n),J(n)) → D(n). Остается воспользоваться версией нашего утверждения для (обычных, не формальных) нетеровых схем с дуализирующими комплексами.
Пусть J -- инъективный R-модуль m-кручения, а F -- контраплоский R-контрамодуль. Тогда для любого конечно-порожденного R-модуля M имеется изоморфизм R-модулей HomR(M,J⊗RF) = HomR(M,J)⊗RF. (В самом деле, оба функтора точны слева и совпадают на конечно-порожденных свободных R-модулях. Отсюда следует, что R-модуль m-кручения J⊗RF инъективен.) В частности, при M = R/mn мы узнаем, что подмодуль (J⊗RF)(n) элементов, аннулируемых mn в J⊗RF, совпадает с тензорным произведением J(n)⊗RF.
Пусть теперь D -- дуализирующий комплекс на аффинной формальной схеме, связанной с (R,m); напомним, что, по определению, D является конечным комплексом инъективных R-модулей m-кручения. Покажем, что для любого контраплоского (R,m)-контрамодуля F естественное отображение конечных комплексов контраплоских (R,m)-контрамодулей F → HomR(D, D⊗RF) является квазиизоморфизмом.
В самом деле, из вычислений выше следует, что редукция по модулю mn превращает этот морфизм в морфизм R/mn-модулей F/mnF → HomR(D(n), D(n)⊗RF/mnF). Последний является квазиизоморфизмом согласно версии нашего утверждения для (обычных, не формальных) нетеровых схем с дуализирующими комплексами (доказанной в статье Coherent analogues...) Переход к проективному пределу по системе сюръективных морфизмов комплексов сохраняет точность.
Аналогично, пусть J -- инъективный R-модуль m-кручения. Покажем, что естественное отображение конечных комплексов инъективных R-модулей m-кручения D ⊗R HomR(D,J) → J является квазиизоморфизмом. Из вычислений выше следует, что переход к подмодулям, аннулируемым mn превращает этот морфизм в морфизм R/mn-модулей D(n) ⊗R HomR(D(n),J(n)) → D(n). Остается воспользоваться версией нашего утверждения для (обычных, не формальных) нетеровых схем с дуализирующими комплексами.
