![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Пусть X -- формальный спектр адического пополнения нетерова кольца R по идеалу m. Нашей целью является построение эквивалентности между производными категориями второго рода двух абелевых категорий -- R-модулей m-кручения (где каждый элемент аннулируется некоторой степенью m -- т.е. квазикогерентных пучков кручения на X) и R-модулей P со свойством, что ExtR*(R[r−1],P) = 0 для любого элемента r ∈ m (т.е. контрамодулей над пополнением R по m).
Дуализирующим комплексом на X называется конечный комплекс D инъективных R-модулей m-кручения, такой что подкомплекс элементов, аннулируемых mn в D является дуализирующим комплексом на аффинной схеме Spec R/mn, для любого натурального n. Если спектр R допускает дуализирующий комплекс, то дуализирующий комплекс на X можно получить из него, перейдя к подкомплексу элементов m-кручения. Очевидно, с помощью дуализирующего комплекса D можно построить антиавтоэквивалентность ограниченной производной категории когерентных пучков кручения на X.
Мы хотим использовать тот же комплекс D для построения ковариантной эквивалентности между копроизводной категорией абелевой категории (R,m)-tors квазикогерентных пучков кручения и контрапроизводной категории контрамодулей (R,m)-contra.
Контратензорным произведением R-модуля m-кручения N и (R,m)-контрамодуля P называется фактормодуль тензорного произведения N⊗RP по соотношениям ∑i rin⊗pi = n⊗∑iripi, связанным с операциями бесконечного суммирования элементов P с коэффициентами ri, образующими сходящуюся к нулю последовательность в m-адической топологии кольца R. Контратензорное произведение является точным справа функтором, сопоставляющим R-модулю m-кручения и (R,m)-контрамодулю R-модуль m-кручения.
(R,m)-контрамодуль P называется контраплоским, если контратензорное произведение с P является точным функтором на категории модулей кручения. Очевидно, (R,m)-контрамодуль P является контраплоским тогда и только тогда, когда для любого натурального n модуль P/mnP плоский над кольцом R/mn. Приведение P по модулю mn понимается в контрамодульном смысле, т.е. mnP обозначает множество всех бесконечных сумм элементов P с коэффициентами из mn (впрочем, поскольку идеал m конечно порожден, это то же самое, что приведение по модулю mn в категории R-модулей; соответственно, и контратензорное произведение над (R,m) есть то же самое, что просто тензорное произведение R-модулей).
(Продолжение следует)
Дуализирующим комплексом на X называется конечный комплекс D инъективных R-модулей m-кручения, такой что подкомплекс элементов, аннулируемых mn в D является дуализирующим комплексом на аффинной схеме Spec R/mn, для любого натурального n. Если спектр R допускает дуализирующий комплекс, то дуализирующий комплекс на X можно получить из него, перейдя к подкомплексу элементов m-кручения. Очевидно, с помощью дуализирующего комплекса D можно построить антиавтоэквивалентность ограниченной производной категории когерентных пучков кручения на X.
Мы хотим использовать тот же комплекс D для построения ковариантной эквивалентности между копроизводной категорией абелевой категории (R,m)-tors квазикогерентных пучков кручения и контрапроизводной категории контрамодулей (R,m)-contra.
Контратензорным произведением R-модуля m-кручения N и (R,m)-контрамодуля P называется фактормодуль тензорного произведения N⊗RP по соотношениям ∑i rin⊗pi = n⊗∑iripi, связанным с операциями бесконечного суммирования элементов P с коэффициентами ri, образующими сходящуюся к нулю последовательность в m-адической топологии кольца R. Контратензорное произведение является точным справа функтором, сопоставляющим R-модулю m-кручения и (R,m)-контрамодулю R-модуль m-кручения.
(R,m)-контрамодуль P называется контраплоским, если контратензорное произведение с P является точным функтором на категории модулей кручения. Очевидно, (R,m)-контрамодуль P является контраплоским тогда и только тогда, когда для любого натурального n модуль P/mnP плоский над кольцом R/mn. Приведение P по модулю mn понимается в контрамодульном смысле, т.е. mnP обозначает множество всех бесконечных сумм элементов P с коэффициентами из mn (впрочем, поскольку идеал m конечно порожден, это то же самое, что приведение по модулю mn в категории R-модулей; соответственно, и контратензорное произведение над (R,m) есть то же самое, что просто тензорное произведение R-модулей).
(Продолжение следует)
