Контракогерентные копучки

Определение: модуль M над коммутативным кольцом R называется контраприспособленным относительно элемента r ∈ R, если для любой последовательности элементов m_i ∈ M, i ≥ 0, найдется (не единственная!) последовательность элементов n_i ∈ M, такая что n_i = m_i + r n_i+1 для всех i ≥ 0.

Попросту это значит, что Ext_R¹(R[r⁻¹], M) = 0. Например, если r действует в M нулевым или обратимым оператором, то M r-контраприспособлен. R-модуль M называется контраприспособленным, если он контраприспособлен относительно любого элемента r ∈ R.

Пусть R → S -- морфизм коммутативных колец, такой, что индуцированное отображение спектров является открытым вложением аффинных схем. Тогда Ext_Rⁿ(S,M) = 0 для всех n > 0, если R-модуль M контраприспособлен. Кроме того, в этом случае N = Hom_R(S,M) является контраприспособленным S-модулем.

Контраприспособленные R-модули образуют в абелевой категории R-модулей точную подкатегорию, замкнутую относительно расширений и бесконечных произведений, и содержащую вместе с любым R-модулем все его фактормодули. Инъективные R-модули контраприспособлены. Всякий R-модуль имеет двучленную правую резольвенту из контраприспособленных R-модулей.

Контракогерентным копучком F на схеме X называется следующий набор данных. Каждой аффинной открытой подсхеме Spec R = U ⊂ X должен быть сопоставлен контраприcпособленный R-модуль F(U). Каждой паре вложенных открытых аффинных подсхем Spec S = V ⊂ Spec R = U ⊂ X должен быть сопоставлен изоморфизм S-модулей F(V) ≅ Hom_R(S,F(U)). (Заметим, что тогда имеется естественное отображение коограничения F(V) → F(U); отсюда "копучки".)

Похоже, что контракогерентные копучки на схеме образуют точную категорию с точными функторами бесконечных произведений. В случае аффинной схемы X = Spec R это просто точная категория контраприспособленных R-модулей. Таким образом, мы получили частичное решение этой задачи -- http://posic.livejournal.com/290276.html

Далее, R-модуль M называется r-контрамодулем, если для любой последовательности m_i ∈ M, как выше, последовательность n_i, как выше, не только существует, но и единственна. Пусть I ⊂ M -- идеал; будем называть (R,I)-контрамодулем такой R-модуль, который является r-контраприспособленным для всех r ∈ R и r-контрамодулем для всех r ∈ I.

Будем предполагать, что R -- нетерово кольцо. Тогда из второго условия следует, что на M есть естественная структура модуля над пополнением R по идеалу I. В частности, если идеал I максимальный, то все r ∈ R∖I действуют на M обратимыми операторами, так что второе условие влечет первое.

Склейкой-глобализацией понятия (R,I)-контрамодуля должно получаться понятие контракогерентного копучка над нетеровой формальной схемой.

Задача: для любой нетеровой формальной схемы X, построить эквивалентность между контрапроизводной категорией контракогерентных копучков и копроизводной категорией квазикогерентных дискретных пучков (кручения) на X.

Контракогерентные копучки -- первые замечания и вопросы

1. Ближайший естественный класс модулей к контраприспособленным -- это класс всех R-модулей, в которые Ext над R с положительными номерами из всех плоских R-модулей равен нулю. Последние, кажется, называются "модули кокручения" (cotorsion modules). Но трудно себе представить, чтобы класс модулей кокручения был замкнут относительно перехода к фактормодулям.

2. Почему если Spec S → Spec R -- открытое вложение, то Ext с положительными номерами над R из S в R-контраприспособленный модуль равен нулю? Надо покрыть Spec S главными аффинными открытыми подмножествами Spec R и написать для S соответствующую (правую) конечную резольвенту Чеха из конечных прямых сумм модулей R[f_α⁻¹].

3. Контракогерентный копучок F на схеме X в самом деле является копучком. Для любого открытого подмножества V ⊂ X можно определить О_X(V)-модуль F'(V) так, чтобы удовлетворялась аксиома копучка (т.е., двойственное утверждение к аксиоме пучка, с обращенными стрелками и прямыми суммами по открытым множествам покрытия вместо прямых произведений) для покрытия V всеми ее аффинными открытыми подсхемами. Проверка того, что F'(U) = F(U) для аффинных U и группы F'(V) удовлетворяют аксиоме копучка, сводится к случаю конечного покрытия аффинной схемы аффинными открытыми подсхемами, где утверждение аксиомы для групп F(U) следует из точности последовательности Чеха для структурного пучка.

4. Из предыдущего, видимо, должно следовать, что контракогерентый копучок можно склеить из таких копучков на нескольких открытых подсхемах схемы X, согласованных на пересечениях.

5. Нет ли функториальной конструкции вложения произвольного R-модуля в контраприспособленный, лучшей, чем известная конструкция вложения в инъективный?

6. Чтобы заниматься гомологической алгеброй в категории контракогерентных копучков, полезно иметь какие-нибудь резольвенты. В категории контраприспособленных R-модулей есть инъективные объекты, но в категории контрамодулей над, скажем, полным локальным кольцом таковых уже нет. Нет ли в категории контраприспособленных R-модулей каких-нибудь объектов, близких к проективным? Тот же вопрос про категорию (R,I)-контрамодулей. (Как насчет пресловутых плоских модулей кокручения?)

7. Какие операции определены на контраприспособленных R-модулях и контракогерентных копучках? По-моему, Hom_R из любого R-модуля в инъективный является модулем кокручения и, следовательно, контраприспособленным.

8. С другой стороны, очевидно, что Hom_R из проективного R-модуля в контраприспособленный контраприспособлен. Мне кажется, отсюда можно получить операцию внутреннего Hom'а из локально свободного квазикогерентного пучка в контракогерентный копучок, со значениями в контракогерентных копучках.

9. Пример контракогерентного копучка: пусть M -- квазикогерентный пучок на схеме X, пусть A → O(X) -- гомоморфизм коммутативных колец, и пусть J -- инъективный A-модуль. Тогда соответствие, сопоставляющее аффинной открытой подсхеме U ⊂ X модуль Hom_A(M(U),J) над кольцом O(U), является контракогерентным копучком на X.

Контрагерентные копучки: интерпретация

Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема, U_α -- ее открытое аффинное покрытие. Как научили нас М.К. и А.Р., квазикогерентые пучки на X можно описывать следующим образом. Пусть U обозначает несвязное объединение всех U_α, и пусть V = U ×_X U. Тогда функции на V образуют кокольцо C над кольцом функций A на аффинной схеме U. Категория квазикогерентных пучков на X эквивалентна категории комодулей над этим кокольцом.

Контрагерентные копучки, по замыслу -- это просто контрамодули над тем же самым кокольцом C. Проблема только в том, что для того, чтобы произвольные (скажем, левые) контрамодули над кокольцом C над кольцом A образовывали абелеву (или вообще, разумную с гомологической точки зрения) категорию, С должно быть проективным (левым) A-модулем. В данном же случае это не выполнено -- C только плоский, но не проективный, A-модуль. Поэтому C-комодули можно рассматривать произвольные, а C-контрамодули -- нельзя.

Отсюда класс "контраприспособленных" A-модулей, обсуждаемый в предыдущих постингах. Если в более общей ситуации рассматривать не открытое, а произвольное плоское покрытие, этот класс придется сузить до A-модулей кокручения в смысле Енокса. Проблема построения гомологической алгебры контракогерентных копучков (над схемой) есть, таким образом, прежде всего проблема гомологической алгебры в точной категории контраприспособленных/cotorsion модулей над коммутативным кольцом.

Как обычно с контрамодулями, хотелось бы иметь левые резольвенты, типа проективных или плоских. Если таких резольвент для модулей мы не знаем, можно для начала ограничиться A-инъективными C-контрамодулями и, в частности, С-контрамодулями, индуцированными с инъективных A-модулей ("инъективными в направлении A и проективными в направлении C относительно A"). Этого может быть достаточно для построения в первом приближении разумной теории.

Другая неприятность будет связана с предположением конечности гомологической размерности базового кольца, в котором доказываются основные результаты о контра/комодулях в моей книжке. Не хочется, конечно, ограничиваться случаем регулярных схем, но для некоторых результатов, может быть, придется. Типичным примером, который хотелось бы иметь в такой теории, является контрапроизводная категория модулей над комплексом де Рама (над неаффинным гладким многообразием). Кроме того, хотелось бы, чтобы все работало для формальных схем.