![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic1. Ближайший естественный класс модулей к контраприспособленным -- это класс всех R-модулей, в которые Ext над R с положительными номерами из всех плоских R-модулей равен нулю. Последние, кажется, называются "модули кокручения" (cotorsion modules). Но трудно себе представить, чтобы класс модулей кокручения был замкнут относительно перехода к фактормодулям.
2. Почему если Spec S → Spec R -- открытое вложение, то Ext с положительными номерами над R из S в R-контраприспособленный модуль равен нулю? Надо покрыть Spec S главными аффинными открытыми подмножествами Spec R и написать для S соответствующую (правую) конечную резольвенту Чеха из конечных прямых сумм модулей R[fα−1].
3. Контракогерентный копучок F на схеме X в самом деле является копучком. Для любого открытого подмножества V ⊂ X можно определить ОX(V)-модуль F'(V) так, чтобы удовлетворялась аксиома копучка (т.е., двойственное утверждение к аксиоме пучка, с обращенными стрелками и прямыми суммами по открытым множествам покрытия вместо прямых произведений) для покрытия V всеми ее аффинными открытыми подсхемами. Проверка того, что F'(U) = F(U) для аффинных U и группы F'(V) удовлетворяют аксиоме копучка, сводится к случаю конечного покрытия аффинной схемы аффинными открытыми подсхемами, где утверждение аксиомы для групп F(U) следует из точности последовательности Чеха для структурного пучка.
4. Из предыдущего, видимо, должно следовать, что контракогерентый копучок можно склеить из таких копучков на нескольких открытых подсхемах схемы X, согласованных на пересечениях.
5. Нет ли функториальной конструкции вложения произвольного R-модуля в контраприспособленный, лучшей, чем известная конструкция вложения в инъективный?
6. Чтобы заниматься гомологической алгеброй в категории контракогерентных копучков, полезно иметь какие-нибудь резольвенты. В категории контраприспособленных R-модулей есть инъективные объекты, но в категории контрамодулей над, скажем, полным локальным кольцом таковых уже нет. Нет ли в категории контраприспособленных R-модулей каких-нибудь объектов, близких к проективным? Тот же вопрос про категорию (R,I)-контрамодулей. (Как насчет пресловутых плоских модулей кокручения?)
7. Какие операции определены на контраприспособленных R-модулях и контракогерентных копучках? По-моему, HomR из любого R-модуля в инъективный является модулем кокручения и, следовательно, контраприспособленным.
8. С другой стороны, очевидно, что HomR из проективного R-модуля в контраприспособленный контраприспособлен. Мне кажется, отсюда можно получить операцию внутреннего Hom'а из локально свободного квазикогерентного пучка в контракогерентный копучок, со значениями в контракогерентных копучках.
9. Пример контракогерентного копучка: пусть M -- квазикогерентный пучок на схеме X, пусть A → O(X) -- гомоморфизм коммутативных колец, и пусть J -- инъективный A-модуль. Тогда соответствие, сопоставляющее аффинной открытой подсхеме U ⊂ X модуль HomA(M(U),J) над кольцом O(U), является контракогерентным копучком на X.
2. Почему если Spec S → Spec R -- открытое вложение, то Ext с положительными номерами над R из S в R-контраприспособленный модуль равен нулю? Надо покрыть Spec S главными аффинными открытыми подмножествами Spec R и написать для S соответствующую (правую) конечную резольвенту Чеха из конечных прямых сумм модулей R[fα−1].
3. Контракогерентный копучок F на схеме X в самом деле является копучком. Для любого открытого подмножества V ⊂ X можно определить ОX(V)-модуль F'(V) так, чтобы удовлетворялась аксиома копучка (т.е., двойственное утверждение к аксиоме пучка, с обращенными стрелками и прямыми суммами по открытым множествам покрытия вместо прямых произведений) для покрытия V всеми ее аффинными открытыми подсхемами. Проверка того, что F'(U) = F(U) для аффинных U и группы F'(V) удовлетворяют аксиоме копучка, сводится к случаю конечного покрытия аффинной схемы аффинными открытыми подсхемами, где утверждение аксиомы для групп F(U) следует из точности последовательности Чеха для структурного пучка.
4. Из предыдущего, видимо, должно следовать, что контракогерентый копучок можно склеить из таких копучков на нескольких открытых подсхемах схемы X, согласованных на пересечениях.
5. Нет ли функториальной конструкции вложения произвольного R-модуля в контраприспособленный, лучшей, чем известная конструкция вложения в инъективный?
6. Чтобы заниматься гомологической алгеброй в категории контракогерентных копучков, полезно иметь какие-нибудь резольвенты. В категории контраприспособленных R-модулей есть инъективные объекты, но в категории контрамодулей над, скажем, полным локальным кольцом таковых уже нет. Нет ли в категории контраприспособленных R-модулей каких-нибудь объектов, близких к проективным? Тот же вопрос про категорию (R,I)-контрамодулей. (Как насчет пресловутых плоских модулей кокручения?)
7. Какие операции определены на контраприспособленных R-модулях и контракогерентных копучках? По-моему, HomR из любого R-модуля в инъективный является модулем кокручения и, следовательно, контраприспособленным.
8. С другой стороны, очевидно, что HomR из проективного R-модуля в контраприспособленный контраприспособлен. Мне кажется, отсюда можно получить операцию внутреннего Hom'а из локально свободного квазикогерентного пучка в контракогерентный копучок, со значениями в контракогерентных копучках.
9. Пример контракогерентного копучка: пусть M -- квазикогерентный пучок на схеме X, пусть A → O(X) -- гомоморфизм коммутативных колец, и пусть J -- инъективный A-модуль. Тогда соответствие, сопоставляющее аффинной открытой подсхеме U ⊂ X модуль HomA(M(U),J) над кольцом O(U), является контракогерентным копучком на X.
