posic | Контрагерентные копучки: интерпретация

Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема, U_α -- ее открытое аффинное покрытие. Как научили нас М.К. и А.Р., квазикогерентые пучки на X можно описывать следующим образом. Пусть U обозначает несвязное объединение всех U_α, и пусть V = U ×_X U. Тогда функции на V образуют кокольцо C над кольцом функций A на аффинной схеме U. Категория квазикогерентных пучков на X эквивалентна категории комодулей над этим кокольцом.

Контрагерентные копучки, по замыслу -- это просто контрамодули над тем же самым кокольцом C. Проблема только в том, что для того, чтобы произвольные (скажем, левые) контрамодули над кокольцом C над кольцом A образовывали абелеву (или вообще, разумную с гомологической точки зрения) категорию, С должно быть проективным (левым) A-модулем. В данном же случае это не выполнено -- C только плоский, но не проективный, A-модуль. Поэтому C-комодули можно рассматривать произвольные, а C-контрамодули -- нельзя.

Отсюда класс "контраприспособленных" A-модулей, обсуждаемый в предыдущих постингах. Если в более общей ситуации рассматривать не открытое, а произвольное плоское покрытие, этот класс придется сузить до A-модулей кокручения в смысле Енокса. Проблема построения гомологической алгебры контракогерентных копучков (над схемой) есть, таким образом, прежде всего проблема гомологической алгебры в точной категории контраприспособленных/cotorsion модулей над коммутативным кольцом.

Как обычно с контрамодулями, хотелось бы иметь левые резольвенты, типа проективных или плоских. Если таких резольвент для модулей мы не знаем, можно для начала ограничиться A-инъективными C-контрамодулями и, в частности, С-контрамодулями, индуцированными с инъективных A-модулей ("инъективными в направлении A и проективными в направлении C относительно A"). Этого может быть достаточно для построения в первом приближении разумной теории.

Другая неприятность будет связана с предположением конечности гомологической размерности базового кольца, в котором доказываются основные результаты о контра/комодулях в моей книжке. Не хочется, конечно, ограничиваться случаем регулярных схем, но для некоторых результатов, может быть, придется. Типичным примером, который хотелось бы иметь в такой теории, является контрапроизводная категория модулей над комплексом де Рама (над неаффинным гладким многообразием). Кроме того, хотелось бы, чтобы все работало для формальных схем.