![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТеорема. Для любого нетерова кольца R с идеалом m, снабженной дуализирующим комплексом D, копроизводная категория R-модулей m-кручения естественным образом эквивалентна контрапроизводной категории (R,m)-контрамодулей.
Доказательство: категория R-модулей m-кручения является локально нетеровой абелевой категорией Гротендика; в частности, в ней точен функтор бесконечных прямых сумм, достаточно много инъективных объектов, и класс инъективных объектов замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Поэтому копроизводная категория R-модулей m-кручения эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных R-модулей m-кручения.
В абелевой категории (R,m)-контрамодулей точен функтор бесконечных произведений и достаточно много контраплоских контрамодулей, класс которых замкнут относительно бесконечных произведений (потому что идеал mn конечно-порожден, так что факторизация по нему коммутирует с бесконечными произведениями, и класс плоских R/mn-модулей замкнут относительно бесконечных произведений для всех n -- или, если угодно, просто потому, что класс плоских R-модулей замкнут относительно бесконечных произведений).
Пользуясь известным рассуждением из раздела 1.5 статьи Coherent analogues..., можно отсюда вывести, что контрапроизводная категория (R,m)-контрамодулей эквивалентна контрапроизводной категории контраплоских (R,m)-контрамодулей. Альтернативным образом, можно показать, в духе раздела A.3 книжки Homological algebra of semimodules..., что контраплоский (R,m)-контрамодуль P с проективным R/m-модулем P/mP проективен (как (R,m)-контрамодуль), откуда вывести, что контраплоский (R,m)-контрамодуль имеет конечную резольвенту из проективных (R,m)-контрамодулей и дальше рассуждать, как в разделе 3.8 мемуара Two kinds of derived categories... (отсюда следует даже, что контрапроизводная категория (R,m)-контрамодулей эквивалентна абсолютной производной категории контраплоских (R,m)-контрамодулей).
Так или иначе, для дальнейшего рассуждения нам достаточно того, что комплекс контраплоских (R,m)-контрамодулей, являющийся контраацикличным как комплекс (R,m)-контрамодулей, ацикличен и имеет контраплоские контрамодули коциклов/кограниц. (Контра)тензорное умножение на инъективный R-модуль кручения превращает такой комплекс в стягиваемый. (Рассуждение после слов "Альтернативным образом..." выше все-таки понадобится нам для доказательства аналога теоремы для случая матричных факторизаций, например.)
Теперь функторы D⊗R− и HomR(D,−) между (контра/абсолютной)производной категорией контраплоских (R,m)-контрамодулей и гомотопической категорией инъективных R-модулей m-кручения являются взаимно-обратными эквивалентностями, как следует из рассуждений в предыдущем постинге.
Комодульно-контрамодульное соответствие над аффинной нетеровой формальной схемой построено.
Доказательство: категория R-модулей m-кручения является локально нетеровой абелевой категорией Гротендика; в частности, в ней точен функтор бесконечных прямых сумм, достаточно много инъективных объектов, и класс инъективных объектов замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Поэтому копроизводная категория R-модулей m-кручения эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных R-модулей m-кручения.
В абелевой категории (R,m)-контрамодулей точен функтор бесконечных произведений и достаточно много контраплоских контрамодулей, класс которых замкнут относительно бесконечных произведений (потому что идеал mn конечно-порожден, так что факторизация по нему коммутирует с бесконечными произведениями, и класс плоских R/mn-модулей замкнут относительно бесконечных произведений для всех n -- или, если угодно, просто потому, что класс плоских R-модулей замкнут относительно бесконечных произведений).
Пользуясь известным рассуждением из раздела 1.5 статьи Coherent analogues..., можно отсюда вывести, что контрапроизводная категория (R,m)-контрамодулей эквивалентна контрапроизводной категории контраплоских (R,m)-контрамодулей. Альтернативным образом, можно показать, в духе раздела A.3 книжки Homological algebra of semimodules..., что контраплоский (R,m)-контрамодуль P с проективным R/m-модулем P/mP проективен (как (R,m)-контрамодуль), откуда вывести, что контраплоский (R,m)-контрамодуль имеет конечную резольвенту из проективных (R,m)-контрамодулей и дальше рассуждать, как в разделе 3.8 мемуара Two kinds of derived categories... (отсюда следует даже, что контрапроизводная категория (R,m)-контрамодулей эквивалентна абсолютной производной категории контраплоских (R,m)-контрамодулей).
Так или иначе, для дальнейшего рассуждения нам достаточно того, что комплекс контраплоских (R,m)-контрамодулей, являющийся контраацикличным как комплекс (R,m)-контрамодулей, ацикличен и имеет контраплоские контрамодули коциклов/кограниц. (Контра)тензорное умножение на инъективный R-модуль кручения превращает такой комплекс в стягиваемый. (Рассуждение после слов "Альтернативным образом..." выше все-таки понадобится нам для доказательства аналога теоремы для случая матричных факторизаций, например.)
Теперь функторы D⊗R− и HomR(D,−) между (контра/абсолютной)производной категорией контраплоских (R,m)-контрамодулей и гомотопической категорией инъективных R-модулей m-кручения являются взаимно-обратными эквивалентностями, как следует из рассуждений в предыдущем постинге.
Комодульно-контрамодульное соответствие над аффинной нетеровой формальной схемой построено.
