Двойственность Серра-Гротендика для матричных факторизаций - 3

Что-то я подумал, да почитал Д.М., и так погляжу, что доказательство этого дела несложное.

Рассматривается, еще раз, отделимая нетерова схема X с дуализирующим комплексом D (в частности, такая схема имеет конечную размерность Крулля). На ней линейное расслоение L с локально не делящим ноль сечением w.

Нас интересуют, с одной стороны, абс.=копроизводная категория плоских матричных факторизаций потенциала w, с другой стороны -- копроизводная категория квазикогерентных м.ф., которую мы будем себе мыслить исключительно как гомотопическую категорию инъективных м.ф. Дуализирующий комплекс D мы мыслим как конечный комплекс инъективных квазикогерентных пучков.

Между двумя интересующими нас категориями есть триангулированные функторы в обе стороны. Чтобы отобразиться из плоской стороны в инъективную, надо умножить нашу матричную факторизацию тензорно на комплекс D. Чтобы отобразиться из инъективной стороны в плоскую -- взять квазикогерентный внутренний Hom (композицию O_X-модульного внутреннего Hom-а с когератором) из комплекса D. И в обоих случаях, естественно, тотализировать (с помощью конечных прямых сумм вдоль конечных в данном случае диагоналей). Функторы корректно определены: в одну сторону функтор переводит коацикличные в коацикличные, а следовательно, в стягиваемые; в другую сторону нечего проверять.

Ясно, что тензорное произведение плоского пучка на инъективный инъективно (ввиду локальности инъективности, нетеровости схемы и т.п.). В диссертации Д.М. (ближе к концу главы 8 про двойственность С.-Г.) показано, что квазикогерентный внутренний Hom между инъективными пучками является плоским квазикогерентным пучком. Из приведенного там рассуждения видно также, что такой внутренний Hom в инъективный квазикогерентный пучок является точным функтором первого аргумента.

Применив наши функторы в ту и в другую сторону два раза в любом порядке, мы получим матричную факторизацию, по определению являющуюся тотализацией конечного бикомплекса матричных факторизаций. Свернув этот бикомплекс до комплекса матричных факторизаций, мы получим комплекс м.ф-ций, составленный из двух конечных комплексов пучков, каждый из которых получается применением нашей пары функторов к соответствующей компоненте исходной м.ф-ции. Поэтому между исходной м.ф-цией (рассматриваемой как комплекс м.ф-ций с единственным нетривиальным членом) и нашим получившимся комплексом м.ф-ций есть морфизм комплексов м.ф-ций.

Хотя бы просто из теоремы двойственности С.-Г. в форме Д.М. сразу следует, что это квазиизоморфизм конечных комплексов м.ф-ций (в смысле, квазиизоморфизм комплексов пучков в обеих компонентах). Поскольку отношение эквивалентности на комплексах плоских пучков или инъективных пучков у Д.М. тоньше квазиизоморфизма (а для конечных комплексов совпадает с квазиизоморфизмом). (Лучше было бы, конечно, доказать это прямо.) Более того, это квазиизоморфизм конечных комплексов плоских м.ф. или инъективных м.ф. (в зависимости от того, на какой стороне мы находимся).

Свертка конечного ацикличного комплекса в точной категории чего угодно абсолютно ациклична. Все, собственно.

P.S. Проверим явно то, что лучше проверить явно. Допустим, мы начали с плоского пучка P, рассмотрели D⊗P, потом Hom(D,D⊗P). У нас есть морфизм тензорного умножения P → Hom(D,D⊗P). Пусть D'' обозначает конечный комплекс когерентных пучков, квазиизоморфный D; тогда есть квазиизоморфизм Hom(D,D⊗P) → Hom(D'',D⊗P). Конструкция сквозного отображения P → Hom(D'',D⊗P) локальна по X, поэтому для проверки того, что это квазиизоморфизм, можно считать X аффинным. Далее, переходя к прямому пределу, можно считать P локально свободным конечного ранга. Теперь искомое утверждение верно по определению дуализирующего пучка.

Допустим, мы начали с инъективного пучка J и построили морфизм эвальюации D⊗Hom(D,J) → J. Пусть D'' как выше, а D'''→ D'' -- левая локально свободная (конечного ранга в каждом члене) резольвента D''. Имеются квазиизоморфизмы D'''⊗Hom(D,J) → D⊗Hom(D,J) и D'''⊗Hom(D,J) → D'''⊗Hom(D'',J), образующие коммутативный квадрат c отображениями эвальюации в J. Осталось проверить, что D'''⊗Hom(D'',J) → J -- квазиизоморфизм. Имеется изоморфизм комплексов пучков D'''⊗Hom(D'',J) = Hom(Hom(D''',D''),J), трансформирующий наш морфизм комплексов в J в морфизм подстановки канонического морфизма D'''→D'', бьющий Hom(Hom(D''',D''),J) → J (все Hom-ы внутренние. Отметим, что из трех фигурирующих комплексов пучков все, кроме D''', конечны). Наконец, естественное отображение O_X → Hom(D''',D'') является квазиизоморфизмом по определению дуализирующего комплекса.

Мало- vs. многомерное: принцип Тома

http://mathoverflow.net/questions/75303/thoms-principle-rich-structures-are-more-numerous-in-low-dimension

Вот поэтому я предпочитаю бесконечномерное, да. Структуры или данных не должно быть слишком много, иначе только путаница (как по мне).

Сравнение особенностей

Каковы бы ни были натуральные a,b ≥ 2, особенность x^a = y^b не лучше особенности x^a = 0 (и чем y^b = 0 тоже не лучше).

К предыдущему (о примерах)

Не, Бог с ними, с примерами из теории особенностей, пусть специалисты по теории особенностей их считают. Игорь Б., например, ну и другие -- вона сколько их было на воркшопе в Падерборне два года назад, между прочим. А то у меня чего-то дальше нуля в ответе (см. предыдущий постинг) дело не очень движется. Может, попробую еще разок как-нибудь, но вообще смысла в том немного. К чему бесплодно спорить с веком? -- к тому, что жизнь коротка, и жаль проводить ее, бесплодно пытаясь веку соответствовать.

Нет, я не презираю примеры, как, возможно, это делает кто-то там другой. Я, на самом деле, был бы ужасно рад, если бы кто-нибудь посчитал примеры к той или иной из моих теорий. Начиная еще с формул Плюккера для полупростых групп (примерами к которым меня безуспешно уговаривали заняться еще во время оно (т.е. 20 лет назад), в результате чего воз и ныне там). Кончая полубесконечными когомологиями ассоциативных алгебр (этого бы особенно хотелось). И с триангулированными категориями особенностей and whatnot в промежутке.

Но отсюда не следует, что этим обязательно должен заниматься лично я. Мне и так хорошо. Вона сколько теорем я понадоказывал про эти самые категории особенностей с января -- не имея ни единого нетривиального примера, про который я бы знал хоть что-нибудь. Теперь у меня такие примеры есть, в предыдущем постинге. Ответ -- ноль. (Ну и ладно. В общем случае он не ноль все равно. На то есть тривиальные примеры.) Сейчас еще одну небольшую теорему здесь напишу.

На самом деле плач сей о том, что мне хотелось бы иметь некие контрпримеры. Которых у меня нет. Ну, такова селяви.

Вместо контрпримера

Пусть X -- нетерова схема с достаточным числом векторных расслоений и дуализирующим комплексом, w -- локально не делящее ноль сечение линейного расслоения L на X.

Теорема: допустим, что естественный вполне строгий функтор ι из абс. производной категории локально свободных матричных факторизаций конечного ранга потенциала w на X в абс. производную категорию когерентных м.ф. является эквивалентностью (или даже эквивалентностью с точностью до добавления прямых слагаемых). Тогда естественный функтор Λ из копроизводной категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга в копроизводную категорию квазикогерентных м.ф. (индуцированный вложением первой DG-категории во вторую) является эквивалентностью категорий.

Поскольку мы знаем также, что эквивалентностью является функтор между этими двумя категориями, производящий тензорное умножение на дуализирующий комплекс, композиция одного из этих функторов с обратным к другому является естественной автоэквивалентностью копроизводной категории квазикогерентных м.ф. В ограничении на компактные объекты она задает автоэквивалентность идемпотентного пополнения абс. производной категории когерентных (или локально свободных конечного ранга) м.ф.

Доказательство. Дело в том, что из конструкции компактных объектов в копроизводной категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга, приведенной в P.P.P.S. к предпредыдущему постингу, ясно, что (в предположениях выше относительно схемы X) образ естественного вложения κ абс. производной категории локально свободных м.ф. конечного ранга в копроизводную категорию локально свободных м.ф. бесконечного ранга состоит из компактных объектов. Более того, если предположить, что функтор ι является с точностью до идемпотентного пополнения эквивалентностью, то образ функтора κ оказывается множеством компактных образующих. Поэтому функтор Λ оказывается сохраняющим прямые суммы функтором, ограничивающимся до эквивалентности некоторых триангулированных категорий компактных образующих. Такой функтор, конечно, есть эквивалентность категорий.

В общем же случае тензорное умножения на D определяет (другой, нежели κ) функтор из абс. производной категории локально свободных м.ф. конечного ранга в абс. производную категорию когерентных м.ф. (не в идемпотентное пополнение ее, а в нее саму). Что очевидно, в сущности.