![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЧто-то я подумал, да почитал Д.М., и так погляжу, что доказательство этого дела несложное.
Рассматривается, еще раз, отделимая нетерова схема X с дуализирующим комплексом D (в частности, такая схема имеет конечную размерность Крулля). На ней линейное расслоение L с локально не делящим ноль сечением w.
Нас интересуют, с одной стороны, абс.=копроизводная категория плоских матричных факторизаций потенциала w, с другой стороны -- копроизводная категория квазикогерентных м.ф., которую мы будем себе мыслить исключительно как гомотопическую категорию инъективных м.ф. Дуализирующий комплекс D мы мыслим как конечный комплекс инъективных квазикогерентных пучков.
Между двумя интересующими нас категориями есть триангулированные функторы в обе стороны. Чтобы отобразиться из плоской стороны в инъективную, надо умножить нашу матричную факторизацию тензорно на комплекс D. Чтобы отобразиться из инъективной стороны в плоскую -- взять квазикогерентный внутренний Hom (композицию OX-модульного внутреннего Hom-а с когератором) из комплекса D. И в обоих случаях, естественно, тотализировать (с помощью конечных прямых сумм вдоль конечных в данном случае диагоналей). Функторы корректно определены: в одну сторону функтор переводит коацикличные в коацикличные, а следовательно, в стягиваемые; в другую сторону нечего проверять.
Ясно, что тензорное произведение плоского пучка на инъективный инъективно (ввиду локальности инъективности, нетеровости схемы и т.п.). В диссертации Д.М. (ближе к концу главы 8 про двойственность С.-Г.) показано, что квазикогерентный внутренний Hom между инъективными пучками является плоским квазикогерентным пучком. Из приведенного там рассуждения видно также, что такой внутренний Hom в инъективный квазикогерентный пучок является точным функтором первого аргумента.
Применив наши функторы в ту и в другую сторону два раза в любом порядке, мы получим матричную факторизацию, по определению являющуюся тотализацией конечного бикомплекса матричных факторизаций. Свернув этот бикомплекс до комплекса матричных факторизаций, мы получим комплекс м.ф-ций, составленный из двух конечных комплексов пучков, каждый из которых получается применением нашей пары функторов к соответствующей компоненте исходной м.ф-ции. Поэтому между исходной м.ф-цией (рассматриваемой как комплекс м.ф-ций с единственным нетривиальным членом) и нашим получившимся комплексом м.ф-ций есть морфизм комплексов м.ф-ций.
Хотя бы просто из теоремы двойственности С.-Г. в форме Д.М. сразу следует, что это квазиизоморфизм конечных комплексов м.ф-ций (в смысле, квазиизоморфизм комплексов пучков в обеих компонентах). Поскольку отношение эквивалентности на комплексах плоских пучков или инъективных пучков у Д.М. тоньше квазиизоморфизма (а для конечных комплексов совпадает с квазиизоморфизмом). (Лучше было бы, конечно, доказать это прямо.) Более того, это квазиизоморфизм конечных комплексов плоских м.ф. или инъективных м.ф. (в зависимости от того, на какой стороне мы находимся).
Свертка конечного ацикличного комплекса в точной категории чего угодно абсолютно ациклична. Все, собственно.
P.S. Проверим явно то, что лучше проверить явно. Допустим, мы начали с плоского пучка P, рассмотрели D⊗P, потом Hom(D,D⊗P). У нас есть морфизм тензорного умножения P → Hom(D,D⊗P). Пусть D'' обозначает конечный комплекс когерентных пучков, квазиизоморфный D; тогда есть квазиизоморфизм Hom(D,D⊗P) → Hom(D'',D⊗P). Конструкция сквозного отображения P → Hom(D'',D⊗P) локальна по X, поэтому для проверки того, что это квазиизоморфизм, можно считать X аффинным. Далее, переходя к прямому пределу, можно считать P локально свободным конечного ранга. Теперь искомое утверждение верно по определению дуализирующего пучка.
Допустим, мы начали с инъективного пучка J и построили морфизм эвальюации D⊗Hom(D,J) → J. Пусть D'' как выше, а D'''→ D'' -- левая локально свободная (конечного ранга в каждом члене) резольвента D''. Имеются квазиизоморфизмы D'''⊗Hom(D,J) → D⊗Hom(D,J) и D'''⊗Hom(D,J) → D'''⊗Hom(D'',J), образующие коммутативный квадрат c отображениями эвальюации в J. Осталось проверить, что D'''⊗Hom(D'',J) → J -- квазиизоморфизм. Имеется изоморфизм комплексов пучков D'''⊗Hom(D'',J) = Hom(Hom(D''',D''),J), трансформирующий наш морфизм комплексов в J в морфизм подстановки канонического морфизма D'''→D'', бьющий Hom(Hom(D''',D''),J) → J (все Hom-ы внутренние. Отметим, что из трех фигурирующих комплексов пучков все, кроме D''', конечны). Наконец, естественное отображение OX → Hom(D''',D'') является квазиизоморфизмом по определению дуализирующего комплекса.
Рассматривается, еще раз, отделимая нетерова схема X с дуализирующим комплексом D (в частности, такая схема имеет конечную размерность Крулля). На ней линейное расслоение L с локально не делящим ноль сечением w.
Нас интересуют, с одной стороны, абс.=копроизводная категория плоских матричных факторизаций потенциала w, с другой стороны -- копроизводная категория квазикогерентных м.ф., которую мы будем себе мыслить исключительно как гомотопическую категорию инъективных м.ф. Дуализирующий комплекс D мы мыслим как конечный комплекс инъективных квазикогерентных пучков.
Между двумя интересующими нас категориями есть триангулированные функторы в обе стороны. Чтобы отобразиться из плоской стороны в инъективную, надо умножить нашу матричную факторизацию тензорно на комплекс D. Чтобы отобразиться из инъективной стороны в плоскую -- взять квазикогерентный внутренний Hom (композицию OX-модульного внутреннего Hom-а с когератором) из комплекса D. И в обоих случаях, естественно, тотализировать (с помощью конечных прямых сумм вдоль конечных в данном случае диагоналей). Функторы корректно определены: в одну сторону функтор переводит коацикличные в коацикличные, а следовательно, в стягиваемые; в другую сторону нечего проверять.
Ясно, что тензорное произведение плоского пучка на инъективный инъективно (ввиду локальности инъективности, нетеровости схемы и т.п.). В диссертации Д.М. (ближе к концу главы 8 про двойственность С.-Г.) показано, что квазикогерентный внутренний Hom между инъективными пучками является плоским квазикогерентным пучком. Из приведенного там рассуждения видно также, что такой внутренний Hom в инъективный квазикогерентный пучок является точным функтором первого аргумента.
Применив наши функторы в ту и в другую сторону два раза в любом порядке, мы получим матричную факторизацию, по определению являющуюся тотализацией конечного бикомплекса матричных факторизаций. Свернув этот бикомплекс до комплекса матричных факторизаций, мы получим комплекс м.ф-ций, составленный из двух конечных комплексов пучков, каждый из которых получается применением нашей пары функторов к соответствующей компоненте исходной м.ф-ции. Поэтому между исходной м.ф-цией (рассматриваемой как комплекс м.ф-ций с единственным нетривиальным членом) и нашим получившимся комплексом м.ф-ций есть морфизм комплексов м.ф-ций.
Хотя бы просто из теоремы двойственности С.-Г. в форме Д.М. сразу следует, что это квазиизоморфизм конечных комплексов м.ф-ций (в смысле, квазиизоморфизм комплексов пучков в обеих компонентах). Поскольку отношение эквивалентности на комплексах плоских пучков или инъективных пучков у Д.М. тоньше квазиизоморфизма (а для конечных комплексов совпадает с квазиизоморфизмом). (Лучше было бы, конечно, доказать это прямо.) Более того, это квазиизоморфизм конечных комплексов плоских м.ф. или инъективных м.ф. (в зависимости от того, на какой стороне мы находимся).
Свертка конечного ацикличного комплекса в точной категории чего угодно абсолютно ациклична. Все, собственно.
P.S. Проверим явно то, что лучше проверить явно. Допустим, мы начали с плоского пучка P, рассмотрели D⊗P, потом Hom(D,D⊗P). У нас есть морфизм тензорного умножения P → Hom(D,D⊗P). Пусть D'' обозначает конечный комплекс когерентных пучков, квазиизоморфный D; тогда есть квазиизоморфизм Hom(D,D⊗P) → Hom(D'',D⊗P). Конструкция сквозного отображения P → Hom(D'',D⊗P) локальна по X, поэтому для проверки того, что это квазиизоморфизм, можно считать X аффинным. Далее, переходя к прямому пределу, можно считать P локально свободным конечного ранга. Теперь искомое утверждение верно по определению дуализирующего пучка.
Допустим, мы начали с инъективного пучка J и построили морфизм эвальюации D⊗Hom(D,J) → J. Пусть D'' как выше, а D'''→ D'' -- левая локально свободная (конечного ранга в каждом члене) резольвента D''. Имеются квазиизоморфизмы D'''⊗Hom(D,J) → D⊗Hom(D,J) и D'''⊗Hom(D,J) → D'''⊗Hom(D'',J), образующие коммутативный квадрат c отображениями эвальюации в J. Осталось проверить, что D'''⊗Hom(D'',J) → J -- квазиизоморфизм. Имеется изоморфизм комплексов пучков D'''⊗Hom(D'',J) = Hom(Hom(D''',D''),J), трансформирующий наш морфизм комплексов в J в морфизм подстановки канонического морфизма D'''→D'', бьющий Hom(Hom(D''',D''),J) → J (все Hom-ы внутренние. Отметим, что из трех фигурирующих комплексов пучков все, кроме D''', конечны). Наконец, естественное отображение OX → Hom(D''',D'') является квазиизоморфизмом по определению дуализирующего комплекса.
