Квазикогерентный внутренний Hom

Я всегда к нему относился с недоверием, но жизнь заставила, и как я теперь вижу, им все-таки можно пользоваться, если с осторожностью.

Скажем, допустим нас интересуют квазикогерентные DG-модули над DG-алгеброй де Рама Ω. Мы хотим распространить известную конструкцию функтора внутреннего Hom

D^abs(Ω−coh)^op × D^co(Ω−qcoh) → D^co(Ω−qcoh)

(определяемого с помощью инъективных резольвент по второму аргументу) на квазикогерентные модули на месте первого аргумента. Получается, что 1. это можно сделать, и 2. единственным, но важным недостатком такой конструкции является ее нелокальность (несогласованность с ограничениями на открытое подмногообразие).

Ключевой факт состоит в том, что квазикогерентный внутренний Hom в инъективный Ω-модуль является точным функтором первого аргумента. Кроме того, такой Hom из плоского Ω-модуля в инъективный является инъективным. Ввиду этого, очевидный функтор

Hot(Ω−flat) × Hot(Ω−inj) → Hot(Ω−inj)

переводит аргументы, в которых первый элемент в паре коацикличен по отношению к классу плоских Ω-модулей, в стягиваемые DG-модули. В самом деле, ввиду точности, абсолютно ацикличные переходят в абсолютно ацикличные, а значит, в стягиваемые (поскольку инъективные коацикличные стягиваемы). Ну, а прямые суммы по первому аргументу переходят в произведения, и хотя произведения пучков вообще ведут себя плохо, но уж стягиваемые-то модули они переводят в стягиваемые.

Ввиду соответствующих результатов из старой серии постингов про резольвенты DG-модулей над Ω, получаем производный функтор внутреннего Hom'а

RHom: D^co(Ω−qcoh) × D^co(Ω−qcoh) → D^co(Ω−qcoh).

Правда, нам потребовалось разрешать оба аргумента, чтобы построить этот производный функтор. Что касается локальности, то для пар аргументов, первый из которых приходит из когерентного DG-модуля (принадлежит полной подкатегории D^abs(Ω-coh) в D^co(Ω-qcoh), функтор производного квазикогерентного внутреннего Hom-а [может быть?] локален; в общем же случае -- нет.

P.S. Только я что-то с ходу не соображу, почему этот новый внутренний Hom согласован с тем старым, который для когерентных первых аргументов...

Правда состоит в том, что

- я понятия не имею, как я хотел бы использовать те сумасшедшие по моим стандартам деньги, которые мне обещают платить;
- мотивация моего похода за этими деньгами имеет в большой степени характер попытки повысить свой статус в своей собственной (расширенной) семье;
- другими словами, я попросту предпочитаю принимать задачи у студентов-математиков, нежели сопротивляться попыткам принудить меня делать домашние задания со своим маленьким ребенком (или что-нибудь в этом роде), и выбор в пользу первого продиктован желанием обезопаситься от второго;
- в целом, я просто чувствую себя в последние годы на своем месте на работе и не на своем месте с родственниками, и соответственно предпочитаю увеличивать долю первой компоненты и уменьшать -- второй.