Двойственность Серра-Гротендика для матричных факторизаций - 4

Пусть X -- отделимая нетерова схема с дуализирующим комплексом D_X, i: X₀ → X -- локус нулей локально не делящего ноль сечения w линейного расслоения L на X.

1. На триангулированной категории относительных особенностей D^b_Sing(X₀/X) действует функтор двойственности С.-Г. RHom(−,D_X0), где, как обычно, D_X0 = Ri^!D_X. В самом деле, комплексы пучков, пришедшие по Li* с X, функтор двойственности переводит в комплексы, пришедшие по Ri^! с X, а это то же самое с точностью до сдвига и подкрутки на L.

2. Эквивалентность категорий D^b_Sing(X₀/X) = D^abs((X,L,w)−coh) переводит двойственность на одной категории в двойственность на другой. Проще всего проверять это для функтора Υ. Надо только заметить, что двойственность коммутирует с прямым образом при замкнутом вложении i.

3. Пусть имеется морфизм отделимых нетеровых схем с дуализирующими комплексами f: Y → X; предположим, что f*w не делит локально ноль на Y; пусть i': Y₀ → Y -- локус нулей f*w. Предположим далее, что морфизм f₀: Y₀ → X₀ -- собственный. Тогда двойственность в триангулированных категориях относительных особенностей D^b_Sing(Y₀/Y) и D^b_Sing(X₀/X) коммутирует с функтором прямого образа при морфизме f, поскольку двойственность на ограниченных производных категориях когерентных пучков с ним коммутирует.

4. Поэтому функтор прямого образа когерентных матричных факторизаций при морфизме f коммутирует с двойственностью.

5. Похоже, что все это обобщается на ситуацию с фиксированным теоретико-множественным носителем T ⊂ Y₀ очевиднейшим образом.