Квазикогерентный внутренний Hom
Sep. 15th, 2011 07:18 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЯ всегда к нему относился с недоверием, но жизнь заставила, и как я теперь вижу, им все-таки можно пользоваться, если с осторожностью.
Скажем, допустим нас интересуют квазикогерентные DG-модули над DG-алгеброй де Рама Ω. Мы хотим распространить известную конструкцию функтора внутреннего Hom
Dabs(Ω−coh)op × Dco(Ω−qcoh) → Dco(Ω−qcoh)
(определяемого с помощью инъективных резольвент по второму аргументу) на квазикогерентные модули на месте первого аргумента. Получается, что 1. это можно сделать, и 2. единственным, но важным недостатком такой конструкции является ее нелокальность (несогласованность с ограничениями на открытое подмногообразие).
Ключевой факт состоит в том, что квазикогерентный внутренний Hom в инъективный Ω-модуль является точным функтором первого аргумента. Кроме того, такой Hom из плоского Ω-модуля в инъективный является инъективным. Ввиду этого, очевидный функтор
Hot(Ω−flat) × Hot(Ω−inj) → Hot(Ω−inj)
переводит аргументы, в которых первый элемент в паре коацикличен по отношению к классу плоских Ω-модулей, в стягиваемые DG-модули. В самом деле, ввиду точности, абсолютно ацикличные переходят в абсолютно ацикличные, а значит, в стягиваемые (поскольку инъективные коацикличные стягиваемы). Ну, а прямые суммы по первому аргументу переходят в произведения, и хотя произведения пучков вообще ведут себя плохо, но уж стягиваемые-то модули они переводят в стягиваемые.
Ввиду соответствующих результатов из старой серии постингов про резольвенты DG-модулей над Ω, получаем производный функтор внутреннего Hom'а
RHom: Dco(Ω−qcoh) × Dco(Ω−qcoh) → Dco(Ω−qcoh).
Правда, нам потребовалось разрешать оба аргумента, чтобы построить этот производный функтор. Что касается локальности, то для пар аргументов, первый из которых приходит из когерентного DG-модуля (принадлежит полной подкатегории Dabs(Ω-coh) в Dco(Ω-qcoh), функтор производного квазикогерентного внутреннего Hom-а [может быть?] локален; в общем же случае -- нет.
P.S. Только я что-то с ходу не соображу, почему этот новый внутренний Hom согласован с тем старым, который для когерентных первых аргументов...
Скажем, допустим нас интересуют квазикогерентные DG-модули над DG-алгеброй де Рама Ω. Мы хотим распространить известную конструкцию функтора внутреннего Hom
Dabs(Ω−coh)op × Dco(Ω−qcoh) → Dco(Ω−qcoh)
(определяемого с помощью инъективных резольвент по второму аргументу) на квазикогерентные модули на месте первого аргумента. Получается, что 1. это можно сделать, и 2. единственным, но важным недостатком такой конструкции является ее нелокальность (несогласованность с ограничениями на открытое подмногообразие).
Ключевой факт состоит в том, что квазикогерентный внутренний Hom в инъективный Ω-модуль является точным функтором первого аргумента. Кроме того, такой Hom из плоского Ω-модуля в инъективный является инъективным. Ввиду этого, очевидный функтор
Hot(Ω−flat) × Hot(Ω−inj) → Hot(Ω−inj)
переводит аргументы, в которых первый элемент в паре коацикличен по отношению к классу плоских Ω-модулей, в стягиваемые DG-модули. В самом деле, ввиду точности, абсолютно ацикличные переходят в абсолютно ацикличные, а значит, в стягиваемые (поскольку инъективные коацикличные стягиваемы). Ну, а прямые суммы по первому аргументу переходят в произведения, и хотя произведения пучков вообще ведут себя плохо, но уж стягиваемые-то модули они переводят в стягиваемые.
Ввиду соответствующих результатов из старой серии постингов про резольвенты DG-модулей над Ω, получаем производный функтор внутреннего Hom'а
RHom: Dco(Ω−qcoh) × Dco(Ω−qcoh) → Dco(Ω−qcoh).
Правда, нам потребовалось разрешать оба аргумента, чтобы построить этот производный функтор. Что касается локальности, то для пар аргументов, первый из которых приходит из когерентного DG-модуля (принадлежит полной подкатегории Dabs(Ω-coh) в Dco(Ω-qcoh), функтор производного квазикогерентного внутреннего Hom-а [может быть?] локален; в общем же случае -- нет.
P.S. Только я что-то с ходу не соображу, почему этот новый внутренний Hom согласован с тем старым, который для когерентных первых аргументов...
