Вместо контрпримера
Sep. 14th, 2011 10:14 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть X -- нетерова схема с достаточным числом векторных расслоений и дуализирующим комплексом, w -- локально не делящее ноль сечение линейного расслоения L на X.
Теорема: допустим, что естественный вполне строгий функтор ι из абс. производной категории локально свободных матричных факторизаций конечного ранга потенциала w на X в абс. производную категорию когерентных м.ф. является эквивалентностью (или даже эквивалентностью с точностью до добавления прямых слагаемых). Тогда естественный функтор Λ из копроизводной категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга в копроизводную категорию квазикогерентных м.ф. (индуцированный вложением первой DG-категории во вторую) является эквивалентностью категорий.
Поскольку мы знаем также, что эквивалентностью является функтор между этими двумя категориями, производящий тензорное умножение на дуализирующий комплекс, композиция одного из этих функторов с обратным к другому является естественной автоэквивалентностью копроизводной категории квазикогерентных м.ф. В ограничении на компактные объекты она задает автоэквивалентность идемпотентного пополнения абс. производной категории когерентных (или локально свободных конечного ранга) м.ф.
Доказательство. Дело в том, что из конструкции компактных объектов в копроизводной категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга, приведенной в P.P.P.S. к предпредыдущему постингу, ясно, что (в предположениях выше относительно схемы X) образ естественного вложения κ абс. производной категории локально свободных м.ф. конечного ранга в копроизводную категорию локально свободных м.ф. бесконечного ранга состоит из компактных объектов. Более того, если предположить, что функтор ι является с точностью до идемпотентного пополнения эквивалентностью, то образ функтора κ оказывается множеством компактных образующих. Поэтому функтор Λ оказывается сохраняющим прямые суммы функтором, ограничивающимся до эквивалентности некоторых триангулированных категорий компактных образующих. Такой функтор, конечно, есть эквивалентность категорий.
В общем же случае тензорное умножения на D определяет (другой, нежели κ) функтор из абс. производной категории локально свободных м.ф. конечного ранга в абс. производную категорию когерентных м.ф. (не в идемпотентное пополнение ее, а в нее саму). Что очевидно, в сущности.
Теорема: допустим, что естественный вполне строгий функтор ι из абс. производной категории локально свободных матричных факторизаций конечного ранга потенциала w на X в абс. производную категорию когерентных м.ф. является эквивалентностью (или даже эквивалентностью с точностью до добавления прямых слагаемых). Тогда естественный функтор Λ из копроизводной категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга в копроизводную категорию квазикогерентных м.ф. (индуцированный вложением первой DG-категории во вторую) является эквивалентностью категорий.
Поскольку мы знаем также, что эквивалентностью является функтор между этими двумя категориями, производящий тензорное умножение на дуализирующий комплекс, композиция одного из этих функторов с обратным к другому является естественной автоэквивалентностью копроизводной категории квазикогерентных м.ф. В ограничении на компактные объекты она задает автоэквивалентность идемпотентного пополнения абс. производной категории когерентных (или локально свободных конечного ранга) м.ф.
Доказательство. Дело в том, что из конструкции компактных объектов в копроизводной категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга, приведенной в P.P.P.S. к предпредыдущему постингу, ясно, что (в предположениях выше относительно схемы X) образ естественного вложения κ абс. производной категории локально свободных м.ф. конечного ранга в копроизводную категорию локально свободных м.ф. бесконечного ранга состоит из компактных объектов. Более того, если предположить, что функтор ι является с точностью до идемпотентного пополнения эквивалентностью, то образ функтора κ оказывается множеством компактных образующих. Поэтому функтор Λ оказывается сохраняющим прямые суммы функтором, ограничивающимся до эквивалентности некоторых триангулированных категорий компактных образующих. Такой функтор, конечно, есть эквивалентность категорий.
В общем же случае тензорное умножения на D определяет (другой, нежели κ) функтор из абс. производной категории локально свободных м.ф. конечного ранга в абс. производную категорию когерентных м.ф. (не в идемпотентное пополнение ее, а в нее саму). Что очевидно, в сущности.
