Двойственность Серра-Гротендика для матричных факторизаций - 1

Будем рассматривать матричные факторизации потенциала w на нетеровой схеме X с дуализирующим комплексом D.

Теорема: абсолютная производная категория когерентных матричных факторизаций потенциала w на X антиэквивалентна абсолютной производной категории потенциала −w. Двойственность осуществляется функтором внутреннего Hom в комплекс D, рассматриваемый как матричная факторизация нулевого потенциала (после периодизации). Для построения производного функтора RHom достаточно представить D (конечным) комплексом инъективных пучков. По определению, такой внутренний Hom принимает значения в абсолютной производной категории квазикогерентных матричных факторизаций; утверждается, что он является там объектом, пришедшим из абсолютной производной категории когерентных матричных факторизаций.

Доказательство. Прежде всего, нам нужно доказать последнее утверждение. Более общим образом, пусть имеется конечный комплекс квазикогерентных матричных факторизаций, являющийся, в том направлении, в котором он комплекс, комплексом с когерентными пучками когомологий. Тогда его тотализация, как объект абс. производной категории квазикогерентных м.ф., приходит из абс. производной категории когерентных м.ф. В самом деле, он, как объект абс. производной категории квазикогерентных м.ф., является итерированным расширением когерентных м.ф. (каноническая фильтрация).

Контравариантный функтор между двумая абс. производными категориями квазикогерентных м.ф. построен; осталось показать, что композиция двух таких функторов изоморфна тождественному. Для этого нам понадобится применять функтор двойственности к не обязательно когерентным м.ф. Проблема в том, что при применении внутреннего Hom к паре пучков, первый из которых некогерентен, получается не квазикогерентный пучок, а просто пучок O_X-модулей.

Поэтому мы воспользуемся леммой, что естественный функтор из копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций в копроизводную категорию O_X-модульных матричных факторизаций является вполне строгим. Доказательство: использовать инъективные резольвенты квазикогерентных м.ф. и факт, что инъективный квазикогерентный пучок является инъективным O_X-модулем (на нетеровой схеме).

Дальше можно рассуждать примерно так. Пусть M -- когерентная матричная факторизация. Применив к ней фуктор двойственности, получаем квазикогерентную матричную факторизацию D(M), изоморфную в абсолютной производной категории некоторой когерентной м.ф. Из абсолютной производной категории O_X-модульных м.ф. потенциала w в такую же категорию для −w действует контравариантный функтор Hom(−,D). Применив его к D(M), получаем O_X-модульную м.ф. D(D(M)), в которую из D(M) бьет естественный замкнутый морфизм. Этот морфизм является тотализацией морфизма конечных комплексов O_X-модульных м.ф., являющегося квазиизоморфизмом в том направлении, в котором он комплекс. Следовательно, M → D(D(M)) -- изоморфизм в абсолютной производной категории O_X-модульных м.ф.

Теперь пусть N -- когерентная м.ф., изоморфная D(M) в абс. производной категории квазикогерентных м.ф. Тогда D(N) изоморфна D(D(M)) в абс. производной категории O_X-модульных м.ф. Таким образом, D(N) изоморфна M в абс. производной категории O_X-модульных м.ф., а следовательно, и в их копроизводной категории. Поскольку M -- когерентная м.ф., а D(N) -- квазикогерентная, отсюда следует, что они изоморфны в копроизводной категории квазикогерентных м.ф. Если теперь P -- когерентная м.ф., изоморфная D(N) в абс. производной категории квазикогерентных м.ф., то M и P -- когерентные м.ф., изоморфные в копроизводной категории квазикогерентных м.ф. Поскольку функтор из абс. производной категории когерентных м.ф. в копроизводную категорию квазикогерентных м.ф. тоже вполне строгий, отсюда следует, что M и P изоморфны в абс. производной категории когерентных м.ф. Вроде, все получается.

Update: можно сказать то же самое проще. Пользуясь нетеровостью категории O_X-модулей, можно доказать для O_X-модульных матричных факторизаций обычные результаты, имеющие место для квазикогерентных м.ф. В частности, функторы из абс. производной категории конечно порожденных O_X-модульных м.ф. в абс. производную и копроизводную категории O_X-модульных м.ф. вполне строгие. Вместе с полной строгостью функтора между копроизводными категориями квазикогерентных и O_X-модульных м.ф., это влечет полную строгость функтора из абс. производной категории когерентных м.ф. в абс. производную категорию O_X-модульных м.ф. На второй категории действует функтор двойственности D, сохраняющий первую подкатегорию. Проверять, что квадрат функтора двойственности в ограничении на первую подкатегорию тождественен можно на уровне второй категории.

Двойственность Серра-Гротендика для матричных факторизаций - 2

Изложенное в предыдущем постинге, конечно, хорошо, но вообще нашей целью является построение двойственности С.-Г. в виде ковариантной эквивалентности между копроизводными категориями м.ф. бесконечного ранга -- т.е. доказательство гипотезы, изложенной в этом постинге -- http://posic.livejournal.com/644197.html

Рассмотрим, с одной стороны, абс. производную категорию плоских м.ф., с другой -- гомотопическую категорию инъективных м.ф. Представим дуализирующий комплекс D с одной стороны, конечным комплексом D' инъективных пучков, с другой стороны, конечным комплексом D'' когерентных пучков. Тогда между нашими двумя категориями м.ф. действует функтор тензорного умножения на D' в одну сторону. В другую сторону действует функтор Hom из D'' (непонятно, почему приземляющийся в плоских или хотя бы плоской размерности м.ф.) и функтор Hom из D' (приземляющийся вообще в O_X-модульных м.ф., но, может быть, плоских). Чего я сейчас не вполне понимаю, так это как можно было бы прямо доказывать, что композиции этих двух функторов суть тождественные функторы.

Что будет, если следовать подходу, использованному в работах И.-К., Н., М. и т.д.? Он предполагает необходимость найти подкатегории компактных образующих в обеих категориях, потом убедиться, что функтор двойственности их отождествляет. На инъективной стороне мы эти компактные образующие знаем. На проективной стороне, кажется (под впечатлением от краткого упоминания в сегодняшней лекции А.Н.), можно использовать такую конструкцию.

Рассмотрим какую-нибудь когерентную м.ф. потенциала −w и напишем ей левую резольвенту в виде ацикличного комплекса м.ф., подлежащие O_X-модули которых -- локально свободные конечного ранга. Дуализируем этот комплекс локально свободных м.ф. конечного ранга (применим функтор Hom_OX(−,O_X), и получившийся ограниченный снизу комплекс локально свободных м.ф. конечного ранга свернем с помощью бесконечных прямых сумм (как обычно). Наверное, можно как-то показать, что получится контравариантный функтор из абс. производной категории когерентных м.ф. конечного ранга в копроизводную категорию локально свободных м.ф. бесконечного ранга.

Почему этот функтор является вложением категории компактных образующих? Может быть, из работ Питера Й. и т.д. можно извлечь какой-нибудь подход к ответу на этот вопрос.

P.S. На самом деле, ключевой вопрос, наверное, вот какой. Можно ли представить дуализирующий комплекс D нетеровой схемы X конечным комплексом когерентных пучков на X, каждый из которых имел бы конечную инъективную размерность (не весь комплекс, а каждый его член, и при этом когерентным тоже каждый член бы был)? То есть попросту это вопрос о наличии достаточного числа когерентных пучков конечной инъективной размерности.

P.P.S. Ну или можно квазикогерентный внутренний Hom (который с помощью когератора определяется) использовать, как Д.М. это делает. Он доказывает, что квазикогерентный внутренний Hom между инъективными квазикогерентными пучками плоский.

14.09.11 16:45 - P.P.P.S. См. следующий постинг, где изложено прямое доказательство теоремы двойственности. Теперь же, когда оно есть, можно легко показать, что компактные объекты в копроизводной категории плоских пучков такие, как описано выше. В самом деле, D⊗Hom(F,O_X) = Hom(F,D) для комплекса локально свободных пучков конечного ранга F. Если же F является ограниченным сверху комплексом локально свободных матричных факторизаций конечного ранга, а когомологии его (как когерентные матричные факторизации) ограничены с обеих сторон, то тотализация Hom(F,D) как объект копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций (здесь еще важно, что тотализация с помощью бесконечных прямых сумм коммутирует с тензорным произведением пучков) вычисляет образ когерентной матричной факторизации D(F) при вложении абс. производной категории когерентных м.ф. в копроизводную категорию квазикогерентных.