![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicИзложенное в предыдущем постинге, конечно, хорошо, но вообще нашей целью является построение двойственности С.-Г. в виде ковариантной эквивалентности между копроизводными категориями м.ф. бесконечного ранга -- т.е. доказательство гипотезы, изложенной в этом постинге -- http://posic.livejournal.com/644197.html
Рассмотрим, с одной стороны, абс. производную категорию плоских м.ф., с другой -- гомотопическую категорию инъективных м.ф. Представим дуализирующий комплекс D с одной стороны, конечным комплексом D' инъективных пучков, с другой стороны, конечным комплексом D'' когерентных пучков. Тогда между нашими двумя категориями м.ф. действует функтор тензорного умножения на D' в одну сторону. В другую сторону действует функтор Hom из D'' (непонятно, почему приземляющийся в плоских или хотя бы плоской размерности м.ф.) и функтор Hom из D' (приземляющийся вообще в OX-модульных м.ф., но, может быть, плоских). Чего я сейчас не вполне понимаю, так это как можно было бы прямо доказывать, что композиции этих двух функторов суть тождественные функторы.
Что будет, если следовать подходу, использованному в работах И.-К., Н., М. и т.д.? Он предполагает необходимость найти подкатегории компактных образующих в обеих категориях, потом убедиться, что функтор двойственности их отождествляет. На инъективной стороне мы эти компактные образующие знаем. На проективной стороне, кажется (под впечатлением от краткого упоминания в сегодняшней лекции А.Н.), можно использовать такую конструкцию.
Рассмотрим какую-нибудь когерентную м.ф. потенциала −w и напишем ей левую резольвенту в виде ацикличного комплекса м.ф., подлежащие OX-модули которых -- локально свободные конечного ранга. Дуализируем этот комплекс локально свободных м.ф. конечного ранга (применим функтор HomOX(−,OX), и получившийся ограниченный снизу комплекс локально свободных м.ф. конечного ранга свернем с помощью бесконечных прямых сумм (как обычно). Наверное, можно как-то показать, что получится контравариантный функтор из абс. производной категории когерентных м.ф. конечного ранга в копроизводную категорию локально свободных м.ф. бесконечного ранга.
Почему этот функтор является вложением категории компактных образующих? Может быть, из работ Питера Й. и т.д. можно извлечь какой-нибудь подход к ответу на этот вопрос.
P.S. На самом деле, ключевой вопрос, наверное, вот какой. Можно ли представить дуализирующий комплекс D нетеровой схемы X конечным комплексом когерентных пучков на X, каждый из которых имел бы конечную инъективную размерность (не весь комплекс, а каждый его член, и при этом когерентным тоже каждый член бы был)? То есть попросту это вопрос о наличии достаточного числа когерентных пучков конечной инъективной размерности.
P.P.S. Ну или можно квазикогерентный внутренний Hom (который с помощью когератора определяется) использовать, как Д.М. это делает. Он доказывает, что квазикогерентный внутренний Hom между инъективными квазикогерентными пучками плоский.
14.09.11 16:45 - P.P.P.S. См. следующий постинг, где изложено прямое доказательство теоремы двойственности. Теперь же, когда оно есть, можно легко показать, что компактные объекты в копроизводной категории плоских пучков такие, как описано выше. В самом деле, D⊗Hom(F,OX) = Hom(F,D) для комплекса локально свободных пучков конечного ранга F. Если же F является ограниченным сверху комплексом локально свободных матричных факторизаций конечного ранга, а когомологии его (как когерентные матричные факторизации) ограничены с обеих сторон, то тотализация Hom(F,D) как объект копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций (здесь еще важно, что тотализация с помощью бесконечных прямых сумм коммутирует с тензорным произведением пучков) вычисляет образ когерентной матричной факторизации D(F) при вложении абс. производной категории когерентных м.ф. в копроизводную категорию квазикогерентных.
Рассмотрим, с одной стороны, абс. производную категорию плоских м.ф., с другой -- гомотопическую категорию инъективных м.ф. Представим дуализирующий комплекс D с одной стороны, конечным комплексом D' инъективных пучков, с другой стороны, конечным комплексом D'' когерентных пучков. Тогда между нашими двумя категориями м.ф. действует функтор тензорного умножения на D' в одну сторону. В другую сторону действует функтор Hom из D'' (непонятно, почему приземляющийся в плоских или хотя бы плоской размерности м.ф.) и функтор Hom из D' (приземляющийся вообще в OX-модульных м.ф., но, может быть, плоских). Чего я сейчас не вполне понимаю, так это как можно было бы прямо доказывать, что композиции этих двух функторов суть тождественные функторы.
Что будет, если следовать подходу, использованному в работах И.-К., Н., М. и т.д.? Он предполагает необходимость найти подкатегории компактных образующих в обеих категориях, потом убедиться, что функтор двойственности их отождествляет. На инъективной стороне мы эти компактные образующие знаем. На проективной стороне, кажется (под впечатлением от краткого упоминания в сегодняшней лекции А.Н.), можно использовать такую конструкцию.
Рассмотрим какую-нибудь когерентную м.ф. потенциала −w и напишем ей левую резольвенту в виде ацикличного комплекса м.ф., подлежащие OX-модули которых -- локально свободные конечного ранга. Дуализируем этот комплекс локально свободных м.ф. конечного ранга (применим функтор HomOX(−,OX), и получившийся ограниченный снизу комплекс локально свободных м.ф. конечного ранга свернем с помощью бесконечных прямых сумм (как обычно). Наверное, можно как-то показать, что получится контравариантный функтор из абс. производной категории когерентных м.ф. конечного ранга в копроизводную категорию локально свободных м.ф. бесконечного ранга.
Почему этот функтор является вложением категории компактных образующих? Может быть, из работ Питера Й. и т.д. можно извлечь какой-нибудь подход к ответу на этот вопрос.
P.S. На самом деле, ключевой вопрос, наверное, вот какой. Можно ли представить дуализирующий комплекс D нетеровой схемы X конечным комплексом когерентных пучков на X, каждый из которых имел бы конечную инъективную размерность (не весь комплекс, а каждый его член, и при этом когерентным тоже каждый член бы был)? То есть попросту это вопрос о наличии достаточного числа когерентных пучков конечной инъективной размерности.
P.P.S. Ну или можно квазикогерентный внутренний Hom (который с помощью когератора определяется) использовать, как Д.М. это делает. Он доказывает, что квазикогерентный внутренний Hom между инъективными квазикогерентными пучками плоский.
14.09.11 16:45 - P.P.P.S. См. следующий постинг, где изложено прямое доказательство теоремы двойственности. Теперь же, когда оно есть, можно легко показать, что компактные объекты в копроизводной категории плоских пучков такие, как описано выше. В самом деле, D⊗Hom(F,OX) = Hom(F,D) для комплекса локально свободных пучков конечного ранга F. Если же F является ограниченным сверху комплексом локально свободных матричных факторизаций конечного ранга, а когомологии его (как когерентные матричные факторизации) ограничены с обеих сторон, то тотализация Hom(F,D) как объект копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций (здесь еще важно, что тотализация с помощью бесконечных прямых сумм коммутирует с тензорным произведением пучков) вычисляет образ когерентной матричной факторизации D(F) при вложении абс. производной категории когерентных м.ф. в копроизводную категорию квазикогерентных.
