![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicБудем рассматривать матричные факторизации потенциала w на нетеровой схеме X с дуализирующим комплексом D.
Теорема: абсолютная производная категория когерентных матричных факторизаций потенциала w на X антиэквивалентна абсолютной производной категории потенциала −w. Двойственность осуществляется функтором внутреннего Hom в комплекс D, рассматриваемый как матричная факторизация нулевого потенциала (после периодизации). Для построения производного функтора RHom достаточно представить D (конечным) комплексом инъективных пучков. По определению, такой внутренний Hom принимает значения в абсолютной производной категории квазикогерентных матричных факторизаций; утверждается, что он является там объектом, пришедшим из абсолютной производной категории когерентных матричных факторизаций.
Доказательство. Прежде всего, нам нужно доказать последнее утверждение. Более общим образом, пусть имеется конечный комплекс квазикогерентных матричных факторизаций, являющийся, в том направлении, в котором он комплекс, комплексом с когерентными пучками когомологий. Тогда его тотализация, как объект абс. производной категории квазикогерентных м.ф., приходит из абс. производной категории когерентных м.ф. В самом деле, он, как объект абс. производной категории квазикогерентных м.ф., является итерированным расширением когерентных м.ф. (каноническая фильтрация).
Контравариантный функтор между двумая абс. производными категориями квазикогерентных м.ф. построен; осталось показать, что композиция двух таких функторов изоморфна тождественному. Для этого нам понадобится применять функтор двойственности к не обязательно когерентным м.ф. Проблема в том, что при применении внутреннего Hom к паре пучков, первый из которых некогерентен, получается не квазикогерентный пучок, а просто пучок OX-модулей.
Поэтому мы воспользуемся леммой, что естественный функтор из копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций в копроизводную категорию OX-модульных матричных факторизаций является вполне строгим. Доказательство: использовать инъективные резольвенты квазикогерентных м.ф. и факт, что инъективный квазикогерентный пучок является инъективным OX-модулем (на нетеровой схеме).
Дальше можно рассуждать примерно так. Пусть M -- когерентная матричная факторизация. Применив к ней фуктор двойственности, получаем квазикогерентную матричную факторизацию D(M), изоморфную в абсолютной производной категории некоторой когерентной м.ф. Из абсолютной производной категории OX-модульных м.ф. потенциала w в такую же категорию для −w действует контравариантный функтор Hom(−,D). Применив его к D(M), получаем OX-модульную м.ф. D(D(M)), в которую из D(M) бьет естественный замкнутый морфизм. Этот морфизм является тотализацией морфизма конечных комплексов OX-модульных м.ф., являющегося квазиизоморфизмом в том направлении, в котором он комплекс. Следовательно, M → D(D(M)) -- изоморфизм в абсолютной производной категории OX-модульных м.ф.
Теперь пусть N -- когерентная м.ф., изоморфная D(M) в абс. производной категории квазикогерентных м.ф. Тогда D(N) изоморфна D(D(M)) в абс. производной категории OX-модульных м.ф. Таким образом, D(N) изоморфна M в абс. производной категории OX-модульных м.ф., а следовательно, и в их копроизводной категории. Поскольку M -- когерентная м.ф., а D(N) -- квазикогерентная, отсюда следует, что они изоморфны в копроизводной категории квазикогерентных м.ф. Если теперь P -- когерентная м.ф., изоморфная D(N) в абс. производной категории квазикогерентных м.ф., то M и P -- когерентные м.ф., изоморфные в копроизводной категории квазикогерентных м.ф. Поскольку функтор из абс. производной категории когерентных м.ф. в копроизводную категорию квазикогерентных м.ф. тоже вполне строгий, отсюда следует, что M и P изоморфны в абс. производной категории когерентных м.ф. Вроде, все получается.
Update: можно сказать то же самое проще. Пользуясь нетеровостью категории OX-модулей, можно доказать для OX-модульных матричных факторизаций обычные результаты, имеющие место для квазикогерентных м.ф. В частности, функторы из абс. производной категории конечно порожденных OX-модульных м.ф. в абс. производную и копроизводную категории OX-модульных м.ф. вполне строгие. Вместе с полной строгостью функтора между копроизводными категориями квазикогерентных и OX-модульных м.ф., это влечет полную строгость функтора из абс. производной категории когерентных м.ф. в абс. производную категорию OX-модульных м.ф. На второй категории действует функтор двойственности D, сохраняющий первую подкатегорию. Проверять, что квадрат функтора двойственности в ограничении на первую подкатегорию тождественен можно на уровне второй категории.
Теорема: абсолютная производная категория когерентных матричных факторизаций потенциала w на X антиэквивалентна абсолютной производной категории потенциала −w. Двойственность осуществляется функтором внутреннего Hom в комплекс D, рассматриваемый как матричная факторизация нулевого потенциала (после периодизации). Для построения производного функтора RHom достаточно представить D (конечным) комплексом инъективных пучков. По определению, такой внутренний Hom принимает значения в абсолютной производной категории квазикогерентных матричных факторизаций; утверждается, что он является там объектом, пришедшим из абсолютной производной категории когерентных матричных факторизаций.
Доказательство. Прежде всего, нам нужно доказать последнее утверждение. Более общим образом, пусть имеется конечный комплекс квазикогерентных матричных факторизаций, являющийся, в том направлении, в котором он комплекс, комплексом с когерентными пучками когомологий. Тогда его тотализация, как объект абс. производной категории квазикогерентных м.ф., приходит из абс. производной категории когерентных м.ф. В самом деле, он, как объект абс. производной категории квазикогерентных м.ф., является итерированным расширением когерентных м.ф. (каноническая фильтрация).
Контравариантный функтор между двумая абс. производными категориями квазикогерентных м.ф. построен; осталось показать, что композиция двух таких функторов изоморфна тождественному. Для этого нам понадобится применять функтор двойственности к не обязательно когерентным м.ф. Проблема в том, что при применении внутреннего Hom к паре пучков, первый из которых некогерентен, получается не квазикогерентный пучок, а просто пучок OX-модулей.
Поэтому мы воспользуемся леммой, что естественный функтор из копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций в копроизводную категорию OX-модульных матричных факторизаций является вполне строгим. Доказательство: использовать инъективные резольвенты квазикогерентных м.ф. и факт, что инъективный квазикогерентный пучок является инъективным OX-модулем (на нетеровой схеме).
Дальше можно рассуждать примерно так. Пусть M -- когерентная матричная факторизация. Применив к ней фуктор двойственности, получаем квазикогерентную матричную факторизацию D(M), изоморфную в абсолютной производной категории некоторой когерентной м.ф. Из абсолютной производной категории OX-модульных м.ф. потенциала w в такую же категорию для −w действует контравариантный функтор Hom(−,D). Применив его к D(M), получаем OX-модульную м.ф. D(D(M)), в которую из D(M) бьет естественный замкнутый морфизм. Этот морфизм является тотализацией морфизма конечных комплексов OX-модульных м.ф., являющегося квазиизоморфизмом в том направлении, в котором он комплекс. Следовательно, M → D(D(M)) -- изоморфизм в абсолютной производной категории OX-модульных м.ф.
Теперь пусть N -- когерентная м.ф., изоморфная D(M) в абс. производной категории квазикогерентных м.ф. Тогда D(N) изоморфна D(D(M)) в абс. производной категории OX-модульных м.ф. Таким образом, D(N) изоморфна M в абс. производной категории OX-модульных м.ф., а следовательно, и в их копроизводной категории. Поскольку M -- когерентная м.ф., а D(N) -- квазикогерентная, отсюда следует, что они изоморфны в копроизводной категории квазикогерентных м.ф. Если теперь P -- когерентная м.ф., изоморфная D(N) в абс. производной категории квазикогерентных м.ф., то M и P -- когерентные м.ф., изоморфные в копроизводной категории квазикогерентных м.ф. Поскольку функтор из абс. производной категории когерентных м.ф. в копроизводную категорию квазикогерентных м.ф. тоже вполне строгий, отсюда следует, что M и P изоморфны в абс. производной категории когерентных м.ф. Вроде, все получается.
Update: можно сказать то же самое проще. Пользуясь нетеровостью категории OX-модулей, можно доказать для OX-модульных матричных факторизаций обычные результаты, имеющие место для квазикогерентных м.ф. В частности, функторы из абс. производной категории конечно порожденных OX-модульных м.ф. в абс. производную и копроизводную категории OX-модульных м.ф. вполне строгие. Вместе с полной строгостью функтора между копроизводными категориями квазикогерентных и OX-модульных м.ф., это влечет полную строгость функтора из абс. производной категории когерентных м.ф. в абс. производную категорию OX-модульных м.ф. На второй категории действует функтор двойственности D, сохраняющий первую подкатегорию. Проверять, что квадрат функтора двойственности в ограничении на первую подкатегорию тождественен можно на уровне второй категории.
