Конструкция, использующая произвольный выбор

[posic]

То, что я пытаюсь сейчас сделать — это примерно такая вещь. Допустим, мы хотим доказать изоморфизм V/W⊗U≅V⊗U/W⊗U для векторных пространств. Ну, по уму, понятно, нужно построить отображение слева направо или справа налево, потом уже любым способом проверять, что это изоморфизм. Но представим себе, что по уму мы не умеем почему-то. Тогда можно использовать такой дикий подход: выберем прямое дополнение T к W в V, тогда имеются изоморфизмы V/W≅T, откуда V/W⊗U≅T⊗U, и V≅W⊕T, откуда V⊗U≅W⊗U⊕T⊗U и V⊗U/W⊗U≅T⊗U. Искомый изоморфизм построен, осталось проверить, что он не зависит от выбора дополнительного подпространства T. В самом деле, пусть T′ — другое дополнительное подпространство к W в V; тогда… Казалось бы, это сущее безумие; так жить нельзя. Но никаких лучших идей в моей ситуации не просматривается. Вот, например.

Comments

[avzel.livejournal.com]

Интересно, что как это замечание, так и одно из предыдущих (о вторжении функционального анализа в алгебру) приложимы к моей недавней работе об обобщении функторов отражений (http://arxiv.org/abs/0704.0649). И конструкцию, использующую произвольный выбор, приходится применять, и с топологий в пополненной алгебре путей приходится возиться. Наверное, и в самом деле, жизнь такая пошла.

[posic.livejournal.com]

Спасибо за ссылку. Сразу могу заметить, что пополненная алгебра путей, которая у вас рассматривается -- проконечномерная, то есть она является двойственным векторным пространством к подходящей дискретной коалгебре. Представления, в которых каждый элемент аннулируется некоторой степенью идеала m, соответствуют комодулям.

[avzel.livejournal.com]

Свойство проконечномерности появляется у нас в аппендиксе. Кстати, есть ли какая-то стандартная терминология для C- и D-пространств, которые мы там рассматриваем? В той версии, которая сейчас на архиве, мы не заметили, что каждое конечномерное представление пополненной алгебры путей автоматически аннулируется некоторой степенью максимального идеала. В новой версии, которую мы скоро посадим, это будет отмечено.

[posic.livejournal.com]

Топологические векторные пространства, двойственные к дискретным, называют линейно компактными. Условие счетномерности у вас несущественно; я бы его отбросил и говорил просто о дискретных и (линейно) компактных векторных пространствах.

Почему каждое конечномерное представление пополненной алгебры путей автоматически аннулируется некоторой степенью максимального идеала я что-то не могу сообразить. Для произвольной проконечномерной алгебры ("D-алгебры") это неверно.

[avzel.livejournal.com]

Спасибо за терминологическое предложение. Что-то я не уверен, что счетномерность у нас не по существу, и, даже если это и так, менять не хочется...

Вот набросок доказательства, что каждое конечномерное представление пополненной алгебры путей автоматически аннулируется некоторой степенью максимального идеала (прошу прощения, что это в латехе).

Let us outline a proof of thе fact that every finite-dimensional $R \langle\langle A \rangle \rangle$-module~$M$ is \emph{nilpotent}, i.e.,~$M$ is annihilated by ${\mathfrak m}^n$ for $n \gg 0$. Note that, for every $i \in Q_0$, the space $M_i$ is a finite-dimensional module of the $K$-algebra $R \langle\langle A \rangle \rangle_{i,i}$; let $d_i = \dim M_i$, and $d = \dim M = \sum_i d_i$. The algebra $R \langle\langle A \rangle \rangle_{i,i}$ has $e_i$ as the unit, and every element $u \in R \langle\langle A \rangle \rangle_{i,i} - {\mathfrak m}_{i,i}$ is invertible. This easily implies that each element $u \in {\mathfrak m}_{i,i}$ acts on $M_i$ as a nilpotent operator. Applying Engel's theorem to the image of ${\mathfrak m}_{i,i}$ in ${\rm End} \ M_i$, we conclude that $(u_1 \cdots u_{d_i})_{M} = 0$ for all $u_1, \dots, u_{d_i} \in {\mathfrak m}_{i,i}$. This implies that $(a_1 \cdots a_d)_M = 0$ for every path of degree~$d$; indeed any such path visits some vertex~$i$ at least $d_i + 1$ times, and so contains as a factor some product $u_1 \cdots u_{d_i}$ with $u_1, \dots, u_{d_i} \in {\mathfrak m}_{i,i}$. Thus, $M$ is annihilated by ${\mathfrak m}^d$, as claimed.

[posic.livejournal.com]

Да, действительно. Это рассуждение применимо к любой проконечномерной алгебре A и показывает, что конечномерный модуль над A аннулируется некоторой степенью соответствующего идеала m (проективного предела радикалов факторалгебр A по открытым идеалам). Контрпример, который я имел в виду, состоит в том, что действие A в ее конечномерном представлении все равно может быть разрывным, если не предполагать, что алгебры A/m^d конечномерны.