![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Конструкция, использующая произвольный выбор
То, что я пытаюсь сейчас сделать — это примерно такая вещь. Допустим, мы хотим доказать изоморфизм V/W⊗U≅V⊗U/W⊗U для векторных пространств. Ну, по уму, понятно, нужно построить отображение слева направо или справа налево, потом уже любым способом проверять, что это изоморфизм. Но представим себе, что по уму мы не умеем почему-то. Тогда можно использовать такой дикий подход: выберем прямое дополнение T к W в V, тогда имеются изоморфизмы V/W≅T, откуда V/W⊗U≅T⊗U, и V≅W⊕T, откуда V⊗U≅W⊗U⊕T⊗U и V⊗U/W⊗U≅T⊗U. Искомый изоморфизм построен, осталось проверить, что он не зависит от выбора дополнительного подпространства T. В самом деле, пусть T′ — другое дополнительное подпространство к W в V; тогда… Казалось бы, это сущее безумие; так жить нельзя. Но никаких лучших идей в моей ситуации не просматривается. Вот, например.
no subject
no subject
no subject
no subject
Почему каждое конечномерное представление пополненной алгебры путей автоматически аннулируется некоторой степенью максимального идеала я что-то не могу сообразить. Для произвольной проконечномерной алгебры ("D-алгебры") это неверно.
no subject
Вот набросок доказательства, что каждое конечномерное представление пополненной алгебры путей автоматически аннулируется некоторой степенью максимального идеала (прошу прощения, что это в латехе).
Let us outline a proof of thе fact that every finite-dimensional $R \langle\langle A \rangle \rangle$-module~$M$ is \emph{nilpotent}, i.e.,~$M$ is annihilated by ${\mathfrak m}^n$ for $n \gg 0$. Note that, for every $i \in Q_0$, the space $M_i$ is a finite-dimensional module of the $K$-algebra $R \langle\langle A \rangle \rangle_{i,i}$; let $d_i = \dim M_i$, and $d = \dim M = \sum_i d_i$. The algebra $R \langle\langle A \rangle \rangle_{i,i}$ has $e_i$ as the unit, and every element $u \in R \langle\langle A \rangle \rangle_{i,i} - {\mathfrak m}_{i,i}$ is invertible. This easily implies that each element $u \in {\mathfrak m}_{i,i}$ acts on $M_i$ as a nilpotent operator. Applying Engel's theorem to the image of ${\mathfrak m}_{i,i}$ in ${\rm End} \ M_i$, we conclude that $(u_1 \cdots u_{d_i})_{M} = 0$ for all $u_1, \dots, u_{d_i} \in {\mathfrak m}_{i,i}$. This implies that $(a_1 \cdots a_d)_M = 0$ for every path of degree~$d$; indeed any such path visits some vertex~$i$ at least $d_i + 1$ times, and so contains as a factor some product $u_1 \cdots u_{d_i}$ with $u_1, \dots, u_{d_i} \in {\mathfrak m}_{i,i}$. Thus, $M$ is annihilated by ${\mathfrak m}^d$, as claimed.
no subject