posic | Entries tagged with math14

По состоянию на 2007-09 годы, основным объектом моего интереса была ситуация с двумя группами переменных. Иногда с тремя группами переменных. Проще всего представить себе кольцо с подкольцом -- скажем, кольцо многочленов от двух групп переменных, в нем подкольцо многочленов от первой группы переменных, переменные из второй группы в подкольцо не входят.

Здесь "две группы переменных" -- это упрощающая метафора, конечно. Можно говорить о произвольном кольце с подкольцом, скажем, потребовав, чтобы объемлющее кольцо было проективным модулем над подкольцом с обеих сторон или что-то в этом роде. Но и это упрощение. На самом деле, меня интересовали "алгебры над коалгебрами" и "коалгебры над алгебрами" -- если продолжать пользоваться метафорой, то можно говорить о том, что это ассоциативные алгебраические структуры, в которых разделение "переменных" на две группы не выбрано произвольно, но изначально зашито в саму структуру, в ее аксиомы.

В этом контексте меня интересовали, в частности, модули (комодули, полумодули...), "проективные по части переменных в кольце" или "инъективные по части переменных в кольце". Скажем, проективные по первой группе переменных, а по второй -- произвольные. Или проективные по первой группе переменных, а по второй -- инъективные.

Это называется полубесконечная гомологическая алгебра. Называется она так потому, что там потом рассматриваются двусторонние производные функторы -- смеси левого производного функтора по одной группе переменных и правого производного функтора по другой. Это такие последовательности абелевых групп или векторных пространств (ко)гомологий, обычно бесконечномерных, занумерованные не натуральными, как в классических теориях гомологий и когомологий, а всеми целыми числами.

***

Одна из мыслей, крутившихся в моей голове все эти годы, состояла в том, что можно пользоваться и другой упрощающей метафорой -- говорить не о "модулях, проективных по части переменных", а вообще об "отчасти проективных модулях", модулях каких-то более широких классов, включающих проективные модули. Очевидным важнейшим примером таких обобщенно-проективных модулей мне виделись, конечно, плоские модули. Я думал о том, что распространяя полубесконечную деятельность на смежные области гомологической алгебры, я когда-нибудь в будущем буду что-то делать с плоскими модулями.

Для точной категории плоских модулей над произвольным кольцом, неограниченная производная, копроизводная и контрапроизводная категории совпадают. (Подразумеваются копроизводная и контрапроизводная категории в смысле Беккера.)

В этой простой формуле -- ответ на вопрос, почему я вдруг так увлекся теоремами периодичности. Потому, что они на самом деле тесно связаны с тематикой экзотических производных категорий, включая копроизводные и контрапроизводные категории. И не только в контексте контрагерентных копучков. И не только для комплексов модулей.

***

Апропос: следует, кстати, признать частично устаревшим мое мнение о том, что, насколько известно, производные категории второго рода в смысле Беккера лучше себя ведут в тех контекстах, в которых они определены, в то время как производные категории второго рода в моем смысле определены в большей общности.

Конечно, для того, чтобы говорить о производных категориях второго рода в смысле Беккера, нужно наличие достаточного количества инъективных или проективных объектов, существование полуортогональных разложений или полных пар кокручения и т.д. Но для того, чтобы говорить о производных категориях второго рода в моем смысле, нужно существование бесконечных прямых сумм или произведений!

Да, конечно, наличие проективных объектов влечет точность бесконечных произведений, а наличие инъективных объектов влечет точность бесконечных прямых сумм. Но это имеет смысл при условии существования оных бесконечных сумм или произведений. Существование бесконечных сумм или произведений из наличия инъективных или проективных объектов никак не следует.

Например, в моей статье про антилокальность упоминаются "коацикличные комплексы контраприспособленных модулей" и "коацикличные комплексы модулей кокручения". Для коацикличности в моем смысле, это ересь -- ведь бесконечных прямых сумм в категории контраприспособленных модулей или модулей кокручения не существует. Но для коацикличности в смысле Беккера это вполне осмысленно -- инъективные объекты-то в обеих точных категориях есть, это просто обычные инъективные модули.

Ну, а другим примером является упомянутая в начале постинга контрапроизводная категория плоских модулей. Для контрапроизводной категории в моем смысле, эта конструкция определена только над когерентными кольцами -- иначе в категории плоских модулей нет бесконечных произведений. Но проективные объекты в категории плоских модулей-то есть в любом случае! Это просто обычные проективные модули.

И инъективные объекты в категории плоских модулей есть в любом случае. Это плоские модули кокручения.

Зачем вообще fp-проективные модули? Кому и почему они нужны?

В общем и в целом, fp-инъективность и fp-проективность сидят в зазоре между нетеровостью и когерентностью. Над некогерентным кольцом они уже плохо себя ведут (хотя я немножко пытался и сейчас пытаюсь это преодолеть, но вряд ли эти попытки сами по себе особенно перспективны).

Над нетеровым кольцом все модули fp-проективны. Но вот над когерентным кольцом -- кажется, что fp-инъективные модули важны. А значит, и fp-проективные модули должны быть важны. Я пока еще не знаю, каким в точности образом, но кажется, что должны быть.

Когда-то довольно давно, году в 2013, еще в Москве, я решил для себя, что fp-инъективность и fp-проективность важны. И вот, я пишу про fp-проективные модули. В каких-то туманных видах алгебраической геометрии над ненетеровыми когерентными схемами. Полубесконечной алгебраической геометрии над ненетеровыми когерентными схемами, и т.д.

Хотя примеров таких геометрических объектов у меня никаких нет. И что я хочу делать с когерентными схемами, я толком не знаю. И как в этом могут пригодиться fp-проективные модули, я не знаю тем паче. Но кажется, что могут и должны, и пригодятся. Когда-если кто-нибудь по-настоящему этим займется.

Вопросом, зачем вообще модули/пучки кокручения, тоже можно задаться, кстати... В общем и в целом, ответ на него: затем, что проективных пучков не существует, а плоские есть.

Как специалист по техническим средствам гомологической алгебры, я предпочитаю ходить по прямой. Между прямым и косвенным доказательством, я почти всегда предпочту более прямое. Во всяком случае, я не откажусь от возможности проломиться напрямую через препятствия и проложить короткий путь, если такая возможность представляется.

В этом -- один из способов объяснить, почему я пишу статью, которую сейчас пишу. Она действительно прокладывает прямую дорогу и т.д. Но это довольно сложная прямая дорога. Доказательство главной технической теоремы опирается на два предложения. Доказательство первого предложения я уже написал -- почти пять страниц. Доказательство второго пишу -- четыре страницы уже написаны. В таком примерно ключе.

Теоретико-множественная гомологическая алгебра. В данном случае, множества счетные, что делает рассуждение возможным, но не делает его легким для понимания. В общем, с инфинитарно-комбинаторным привкусом нечто. В Москве таких не делают, но в Праге можно такое написать.

Между тем, у меня есть и косвенное рассуждение, использующее неочевидные концепции и нетривиальный теоретический задел. Контрагерентные копучки, ко-контра соответствие, все дела. В общем, дело вкуса, конечно.

плоских квазикогерентных пучков конечной проективной размерности -- вот в чем вопрос. Если является, то это, конечно, более прямой способ доказывать квазикогерентную периодичность кокручения, чем с помощью перехода к контрагерентным копучкам.

В процессе подготовки к завтрашнему докладу на семинаре по алгебре, у меня не сошелся знак. Не смог он DG-кольца с дифференциалом d от того же кольца с дифференциалом −d, сколько ни бился, отличить. В принципе, такие два DG-кольца естественно изоморфны, конечно. Но природа сего знакового явления мне неясна.