![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicДля точной категории плоских модулей над произвольным кольцом, неограниченная производная, копроизводная и контрапроизводная категории совпадают. (Подразумеваются копроизводная и контрапроизводная категории в смысле Беккера.)
В этой простой формуле -- ответ на вопрос, почему я вдруг так увлекся теоремами периодичности. Потому, что они на самом деле тесно связаны с тематикой экзотических производных категорий, включая копроизводные и контрапроизводные категории. И не только в контексте контрагерентных копучков. И не только для комплексов модулей.
***
Апропос: следует, кстати, признать частично устаревшим мое мнение о том, что, насколько известно, производные категории второго рода в смысле Беккера лучше себя ведут в тех контекстах, в которых они определены, в то время как производные категории второго рода в моем смысле определены в большей общности.
Конечно, для того, чтобы говорить о производных категориях второго рода в смысле Беккера, нужно наличие достаточного количества инъективных или проективных объектов, существование полуортогональных разложений или полных пар кокручения и т.д. Но для того, чтобы говорить о производных категориях второго рода в моем смысле, нужно существование бесконечных прямых сумм или произведений!
Да, конечно, наличие проективных объектов влечет точность бесконечных произведений, а наличие инъективных объектов влечет точность бесконечных прямых сумм. Но это имеет смысл при условии существования оных бесконечных сумм или произведений. Существование бесконечных сумм или произведений из наличия инъективных или проективных объектов никак не следует.
Например, в моей статье про антилокальность упоминаются "коацикличные комплексы контраприспособленных модулей" и "коацикличные комплексы модулей кокручения". Для коацикличности в моем смысле, это ересь -- ведь бесконечных прямых сумм в категории контраприспособленных модулей или модулей кокручения не существует. Но для коацикличности в смысле Беккера это вполне осмысленно -- инъективные объекты-то в обеих точных категориях есть, это просто обычные инъективные модули.
Ну, а другим примером является упомянутая в начале постинга контрапроизводная категория плоских модулей. Для контрапроизводной категории в моем смысле, эта конструкция определена только над когерентными кольцами -- иначе в категории плоских модулей нет бесконечных произведений. Но проективные объекты в категории плоских модулей-то есть в любом случае! Это просто обычные проективные модули.
И инъективные объекты в категории плоских модулей есть в любом случае. Это плоские модули кокручения.
В этой простой формуле -- ответ на вопрос, почему я вдруг так увлекся теоремами периодичности. Потому, что они на самом деле тесно связаны с тематикой экзотических производных категорий, включая копроизводные и контрапроизводные категории. И не только в контексте контрагерентных копучков. И не только для комплексов модулей.
***
Апропос: следует, кстати, признать частично устаревшим мое мнение о том, что, насколько известно, производные категории второго рода в смысле Беккера лучше себя ведут в тех контекстах, в которых они определены, в то время как производные категории второго рода в моем смысле определены в большей общности.
Конечно, для того, чтобы говорить о производных категориях второго рода в смысле Беккера, нужно наличие достаточного количества инъективных или проективных объектов, существование полуортогональных разложений или полных пар кокручения и т.д. Но для того, чтобы говорить о производных категориях второго рода в моем смысле, нужно существование бесконечных прямых сумм или произведений!
Да, конечно, наличие проективных объектов влечет точность бесконечных произведений, а наличие инъективных объектов влечет точность бесконечных прямых сумм. Но это имеет смысл при условии существования оных бесконечных сумм или произведений. Существование бесконечных сумм или произведений из наличия инъективных или проективных объектов никак не следует.
Например, в моей статье про антилокальность упоминаются "коацикличные комплексы контраприспособленных модулей" и "коацикличные комплексы модулей кокручения". Для коацикличности в моем смысле, это ересь -- ведь бесконечных прямых сумм в категории контраприспособленных модулей или модулей кокручения не существует. Но для коацикличности в смысле Беккера это вполне осмысленно -- инъективные объекты-то в обеих точных категориях есть, это просто обычные инъективные модули.
Ну, а другим примером является упомянутая в начале постинга контрапроизводная категория плоских модулей. Для контрапроизводной категории в моем смысле, эта конструкция определена только над когерентными кольцами -- иначе в категории плоских модулей нет бесконечных произведений. Но проективные объекты в категории плоских модулей-то есть в любом случае! Это просто обычные проективные модули.
И инъективные объекты в категории плоских модулей есть в любом случае. Это плоские модули кокручения.
